导数的探究与隐零点问题解题技巧（解读导数大题中的零点差证明问题）

这是一类相对成熟的题目，说是套路题也不为过，自从天津高考导数大题出现之后，网上对此问题的解析也很多，今天通过下面的几个题目对此类问题做一次思路上的解析。

思路一.常规的函数构造法

这种形式和极值点偏移问题并没太大区别，都属于函数构造的范畴，利用新函数的单调性和特殊值以及未知变量所处的单调区间来证明不等式成立，此时所证不等式形式一般较为简洁，不含分式或指对数的形式，如下题：

这种题目从形式上很容易判定，不再给出其他案例。

思路二.根据参数范围或函数趋势分别确定出两变量各自的具体范围

若已知函数中参数范围，则可将参数的范围看作其中某个变量的值域，再具体求出变量的范围即可，这种形式常常只需确定其中一个变量范围即可，或者根据函数单调性和特殊点直接判断出两个未知量的范围，典型案例如下：

本题可直接确定其中一个极值点为1，再根据参数范围确定出另外一个变量范围即可，当然本题也有其他解法，可以阅读完本篇内容后再试着做一下。

本题虽存在参数m，但参数并不影响函数极值点和极值以及函数的单调性，函数有唯一负极小值，函数有两个零点，只需判定极值点左右两侧的值是否大于零即可。

思路三.替换参数，转化为单纯的双变量证明问题

这也是双变量问题中最常见的思路了，但在处理零点差的证明问题中并非全能，有时候参数并不容易替换，或者替换下来会出现比原式更复杂的情况，典型案例如下：

在本题中不等式的右侧出现了常数2，且原函数其中一个极值点是x=1，结合函数趋势，根据极值点偏移的处理方法可得到结论x1 x2<2，因此可将不等式转化为证明x2-x1<x1 x2-a/2，再将参数a用x1,x2替换整理后就知道要往哪个方向证明了，过程如下：

本题若用切线法来证明，过程如下，具体方法需要注意的地方后续会讲到。

思路四.用切割线放缩来证明

这是处理此类问题最简单易用的方法，通常使用该方法时对函数的凹凸性有一定的要求，以上题的图示为例，因为方程有两个正实数根，所以从函数的两个零点作切线，此时两条切线与直线y=a的两个交点之间的距离一定要大于x1,x2之间的距离，但这里需要加入两次恒成立的证明过程，其实这种方法可量化简化为以下步骤，以题目为例：

本题中两个零点很容易确定，分别是0和1，分别求出函数在x=0和x=1处的切线后，无需求出两切线与y=a交点的坐标，直接根据曲线和切线的位置关系得到恒成立的不等关系，进而求出x1和x2各自的取值范围，注意这种方法需要在确定出函数单调性的基础上再确定出函数在极值点左右两侧的凸凹性，其中用到的两个不等式恒成立需要分别给与证明，一般来说结合放缩后两个不等式恒成立很容易证明。

下面的题目和上题解法类似，两处标记依旧需要证明，不再给出解析。

上述两题中都是从函数零点处作切线，但如果函数零点不容易求或者函数并不存在两个零点时又该如何处理？具体方法以下面两个题目为例：

函数单调性和极值很容易确定，根据参数a的范围可判定出x1,x2各自的范围，如下图所示：

如图可知，x1>-2，可利用函数在(-2,f(-2))处的切线放缩，求出x1的范围，但此时x2的范围并不容易确定，此时有两个方法，一是根据已求出的x1的范围和所证不等式推测出x2取点的位置，二是找临近特殊点，求特殊点处的切线即可，在本题中可选用x=0处的切线来放缩，依旧不要忘记两次恒成立的证明。

上述5-7题均使用切线放缩，因为在所处的区间内函数有明确的凹凸性，切线和割线的极限形式，因此也可使用割线放缩，注意什么时候用割线，什么时候用切线。

注意此时函数在各自区间的凹凸性(注意二阶导在函数凸凹性上的判定方法)，此时先证明两零点差的最小值，分别以两个零点和极值点作割线并求出各自的直线方程，此时两条割线与直线y=a的两个交点之间的距离|x3-x4|(图示并未标注)是小于x1,x2之间的距离的，随着a值的缩小，此时|x3-x4|的距离也越小，此时|x3-x4|的极限情况可看作是x1,x2距离的最小值，因此割线放缩常用来确定零点差的最小值。

用切线放缩时要确定切线的位置，函数有一个零点x=1很容易确定，但另外一个零点x=0并不在定义域内，因此需要在(0,1/e)之间确定一个值，根据所证不等式的形式中出现的e^-3次，因此可确定在x=1/e^³处的切线，和割线类似，切线放缩可求出两根之间距离的最大值。

以上四种方法是处理导数零点差范围的常用做法，相似的题目并不局限于某种解法，合理分析题目条件选择合适的方法即可。