数学福尔摩斯推理（毕姥爷遭遇信仰危机）

（一）爱琴海上的萨摩斯岛：人神共居之所，数学起源之地

蔚蓝美丽爱琴海，孕育了西方海洋文明的源头——古希腊文明，见证了人类的梦幻童年。

爱琴海小岛星列棋布，气候温和、风平浪静，是东地中海的一部分，位于亚、非、欧三洲通衢之地，十分便于航海和经商，曾经生活在此古希腊人，饱足富裕，有足够闲暇自由思考，博采众长，创造出人类思想史上的黄金时期。

在爱琴海东部，有一座叫做【萨摩斯（Samos Island）】的小岛，拥有非常典型爱情海风光：和煦的阳光下，是一望无际的蔚蓝海洋，如白色方糖一样的白房子点缀在海岸。

萨摩斯岛（Samos Island）

萨摩斯岛是希腊神话中众神之王宙斯的妻子也即婚姻与生育女神——赫拉的出生地：

（赫拉大致相当于中国神话传说中的「王母娘娘」）

赫拉女神雕像

至今，萨摩斯岛上还有古希腊赫拉神庙（Heraion of Samos）的遗迹：

世界文化遗产——赫拉神庙遗址

同时，萨摩斯岛也因是古希腊数学家毕达哥拉斯的家乡而闻名于世。

我们知道，毕达哥拉斯最早证明了【勾股定理】而留名于史，所以，小岛码头上最显目一个雕塑的主题就是：毕达哥拉斯和直角三角形。

「勾股定理」在西方叫做「毕达哥拉斯定理（Pythagoras theorem）」，而在数学史上，一般将「毕达哥拉斯定理」的首次证明，当作「数学」这门学科成熟并建立的标志。

可能，这对学文史的小伙伴来说，这有点难以理解，难道我们中国古代没有数学？古埃及、古巴比伦、古印度没有数学？

对不起，那真不是我们今天所说的「数学」，那应该叫做「算术」或者「算学」，或者称作「数学的萌芽期」都可以。

今天我们所说的数学是「命题证明式」的：也即从一个极其简单、自明的「公理」进行推导得出「定理」，这样其结论才有普遍性和必然性。这也是所谓的「公理化方法(axiomatic approach)」。

引自《世界数学史简编》，页97，注1

这种「公理化方法」因为「前提自明，结论可靠」，所以，被后人应用在各种知识体系中，如：物理学、经济学、法学（罗马法）。

正如马克思所言：凡是能诉诸「数学公理化」的知识体系，才能叫科学知识（大意）。

因此，「数学」被称为「科学之母」。

如果觉得这些不好理解，我就说简单一点：数学就是在最简单的数学概念之上的逻辑推理得到的一些结论，不是拿尺子量或者算「鸡兔同笼」。

拿「勾股定理」来说，在毕达哥拉斯之前，不管是古埃及、古巴比伦人还是古中国人，通过测量计算，都发现过一些「勾股数」。

比如：「3、4、5」「6、8、10」，古巴比伦人甚至发现过「13500，12709、18541」这样巨大的勾股数：

3800年以前古巴比伦人泥板上记载的「勾股数」，注2

但是我们知道，数字和直角是无限的，你不可能量遍所有直角，尝试所有数字，而且现实中根本没有完美的直角，也不可能存在毫无误差的测量。

通过观察统计有限的案例得到的结论，这种方法叫做「归纳法」，通过归纳得到结论没有普遍性，也即我们经常说：观察到再多的白天鹅，但黑天鹅依然存在的可能性。

据说，毕达哥拉斯某日赫拉神庙中沉思，偶然观察地板上的图形受到启发，用演绎法证明了「直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和」，这意味着只要是「直角三角形」都适用这个定理，毫无例外。

教堂地板文书

通过等量代换得到毕氏定理

所以，爱琴海上的萨摩斯岛，是古希腊人神共居之地，也是数学起源的圣殿，因此而留名于史。

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（二）怪蜀黍老毕：聪明和愚昧兼有，荒诞和真理混合

在文艺复兴三杰之一拉斐尔的画作《雅典学院》中，毕达哥拉斯的形象是一位秃头大胡子的大叔，正专心致志，旁若无人在研究数学和音乐：

可能你会想，像毕达哥拉斯这样的古希腊智者，肯定是如同苏格拉底那样睿智善辩，柏拉图那样理性严谨，亚里士多德般沉稳博学。

所以，拉斐尔画作中的「聪明绝顶，白袍长须」形象，无缝匹配「数学家老毕」的人设。

但是，岂不闻「自古怪人有十斗，数学家独占八斗」。

历史上的毕达哥拉斯，正是一位聪明和愚昧集于一身，真理和荒诞混合一体的「古希腊怪蜀黍」。

历史教科书经常提到，我们的老毕同志，是信奉「万物皆数、和谐即美」的「毕达哥拉斯学派」的创始人，却鲜有提及，毕姥爷也是古希腊神秘教派「毕达哥拉斯教」的第一任教主。

毕教煮虽然生于萨摩斯岛，但是从小就留学东方的「海龟派」，本欲学成归来，造福乡里，但因为其古怪的东方装束和言行，并不受父老乡亲的待见。

所以，灰心至极的老毕，启帆远航，远赴地中海西西里岛的克罗顿小城，创建自己的教派，宣扬自己的学说。

「毕达哥拉斯教」主张男女平等，财产共有，主要教义是灵魂轮回，万物皆数，老毕正襟危坐，为人师表，悉心教授数学，而教徒们小板凳，排排坐，努力研习数学。

乍一看，可谓「思想超前、学术氛围浓厚」，简直是柏拉图学院的前身：

但是，「毕达哥拉斯教」也有一些非常奇葩的教义，最核心就是「吃豆子」是极其罪恶的行为，可以说「吃豆子」是人神共愤，人人得而诛之！

没错就是「吃豆子」，我没有打错字！「毕达哥拉斯教」的信徒，可能宁可吃屎，也不会吃豆子。

「毕达哥拉斯教」还制定了另一些奇形怪状的教规，令人匪夷所思的「十五诫」：

引自《西方哲学史》，注3

这些奇葩的教义，都是一些原始的禁忌观，跟理性、严谨可谓毫不沾边。不知道毕教煮是怎么想出来的，为什么要制定这样的古怪禁忌？

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（三）大叛徒希童鞋：根号2引发杀机，毕教煮清理门户

毕达哥拉斯教派信奉「万物皆数」——自然万物与整数一一对应，宇宙真谛皆在其中，此理念是教派的学术基础，老毕自认为稳固泰山，不可推翻。

毕姥爷有一个冰雪聪明学生叫叫做希帕索斯（Hippasus），某日，与毕姥爷谈笑风生，突然就出了一个让姥爷无法反驳的难题：边长为1的正方形，它的对角线，却不能用整数之比来表达，不是吗？

也即：如果两个相同的数的相乘等于2，这个数是什么？

这个数也即√2，是一个无理数：小数点无限长，还不循环，无规律，不是整数、分数，这世界没有任何事物与其对应。

这样我们的希童鞋，一下就抓住老毕的「七寸」，毕达哥拉斯教派的学术根基——万物皆数，一夜之间就被「√2」这个炸弹炸得分崩离析。

而且这个无理数，正是用毕姥爷立身资本：毕达哥拉斯定理加上「反证法」，通过严密演绎推导得到的结论。可以说让毕教煮进退两难。反证法如下：

希童鞋未经毕姥爷同意，就将无理数的发现大白于天下，毕姥爷立刻炸毛，开始了「鸵鸟钻沙堆」的自卫还击：

以「渎神」的罪名将希帕索斯丢到地中海淹死，同时，还制定一条教规：谁都不准泄露「√2」秘密，否则丢到地中海喂鱼。

「青山遮不住，毕竟东流去」！！

「无理数」并没有与希帕索斯沉入到黑暗的海底，而是迅速传播开来，让后来数学家，如欧几里得、柏拉图等人，认识到存在一种【不可共度(incommensurable)】的量，极大的促进是数学的发展。

这也也即数学史的上第一次危机。

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（四）结尾语：希腊奇迹——文化交融，思想碰撞的产物

孕育古希腊文明的爱琴海诸岛，位于三洲交汇之地，各大古文明的思想在此交融、碰撞，古希腊人正是吸收古埃及、古巴比伦人的文明成果，从而创造了学术史上的所谓「希腊奇迹（the Greek miracle）」。

生于爱琴海海小岛——萨摩斯岛的毕达哥拉斯，学在东方，成在西方，志在四海，是希腊奇迹中一个典型案例。毕达哥拉斯定理诞生，标志数学的成熟和公理化思维的诞生，使得人类认知升级到一个全新的维度。

其实，从出土文物来看，古巴比伦人不但发现了勾股数，而且早在4000年前就发现「根号2」，所以，「希腊奇迹」并不是突然之间冒出来的，「毕达哥拉斯定理」也是「站在巨人的肩膀」的更上一层楼。

同时，毕达哥拉斯的一生，呈现出「聪明和愚昧兼有，真理和荒诞混合」的复杂性，其实也是人性复杂的投射。希帕索斯童鞋殉身真理的悲剧，在历史上也一再被反复重演。

孤立系统的「熵增原理」告诉我们，只有不断从系统外吸取「负熵」，才能保证系统的有序运转。

同样，人类文明这个系统，因为开放、包容会变得更加强大；我们的思想系统，只有时时兼听、反省，才可能更加深刻。

我想，中国人在经历四十年伟大的「改革开放」，最能体会到这一点。

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参考文献

1. 粱宗巨. (1980). 世界数学史简编. 辽宁人民出版社.页97
2. 维基词条，勾股定理，from：https://zh.wikipedia.org/wiki/勾股定理
3. 勃兰特·罗素（2007），《西方哲学史》（北京出版社），第三章，毕达哥拉斯

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