数独小题目（在家看好书闲暇解数独）

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——中小学数学竞赛爱好者和大学生适合练习的高难六宫数独（第05题）

在家上网课、看好书之余，解答数独题，也是休闲娱乐、健脑益智的好途径。

图M1是一个六宫数独游戏，它有六行、六列，A、B行的123列组成第一宫，456列组成第二宫，C、D行左右各六格组成第三、第四宫，E、F行左右又有第五宫、第六宫。我们要在空格中填入1~6的整数，与已知的数字一起，使每行、每列、每宫的数字都不重复，即为所谓的数独。

六宫数独，粗看好像较为简单，但依据已知的数字的多少和布局的情况，也有较难的，例如图M1的题目，我们现在就开始解这道题。有些经验但还不太熟练者可从文末的M1的简化版M2开始做题，初学者也可由M2的进一步简化版M3着手。

由图M1，E3所在的E行和3列已经有13456这五个数字，按照数独的规则，E3就是2，这是唯一数法，如图01。

在图01中，又用唯一数法，A3所在的A行和3列已有数字12346，可见A3必为5，即有图02。

对于图02，讨论第六宫。A4为6使E4与F4不是6，C6为6因而F6不为6，第六宫中只有E5是6，这是行列排除法，就得到图03。

看图03，E2所属的第五宫和E行已有12356，E2只好为4。而C3是3行的唯一宫格，故C3为3。都用到唯一数法，就有图04。

图04中，C3为3故C4与C5不是3，E3为3则D6不是3，第四宫只有D4=3。又A2为3使F2不是3，第五宫中必须是F1=3。又是行列排除法，即为图05。

观察图05，第五宫中的唯一空格F2必为6，E行的唯一空格定是1，这又用到唯一数法，如图06。

而图06的第一宫中，仍用行列排除法，A4为6因此A1不是6，F2为6可见B2不是6，只能是B2为6，就是图07。

看图07的第二宫，A2为3则A5与A6不是3，D4为3故B4不是3，E6为3从而B6不是3，可知B5=3，就在图08中。

到了这一步，常规的解法就无法继续了，要采用候选数法这种升级的技巧来解决问题。在每个空格中填入小字体的数字1~6，再按每行、每列、每宫中已经知道的数字划去小字体中重复的数，就得所谓的候选数，如图09。

候选数法之所以功能更强大，是因为它把空格隐含的数字信息充分发掘出来。具体的实现形式也多种多样，这里采用一种看似编程算法的逻辑推理表达式来讨论关键点B2（需要尝试寻找）的两个候选数的去留情况：

＋2[B2]－2[D2]＋5[D2]－5[D6]＋24[D6|F6]－24[A6]＋1[A6]－1[A1]＋2[A1]－2[B2]

分段解释：

＋2[B2]－2[D2] 假设B2为2，则同在2列的D2不是2；

＋5[D2]－5[D6] D2只能为5，则同在D行的D6不是5；

＋24[D6|F6]－24[A6] D6与F6就成为恰好含有2和4的数对，这种结构特别稳固，即6列中不能再在别处有2或4，则A6要去掉2和4；

＋1[A6]－1[A1] A6只好为1，则同在A行的A1不能是1；

＋2[A1]－2[B2] A1只能为2，这就推翻了B2是2的假设。

可见，B2不是2，B2必须是1，删除第一宫、B行、2列的多余候选数1，就有图10。就本题而言，后面没有什么太难的地方，可以闲庭信步了。

考虑图10，C2与D2构成候选数为2和5的数对，则第三宫中的2和5必在C2与D2之中，C1与D1都要删去候选数2，就是图11了。

而图11里，A1的候选数只有2，故A1为2，这称为唯一候选数，比前面的唯一数法还要直接了当，无需再看所在行、列或宫的其他数。D1的候选数只剩4，可见D1是4。清除相关行、列、宫的多余候选数，参见图12。

对图12来说，B6与D6是候选数为2和5的数对，因此F6要去掉候选数2，得到图13。

图13中，A5、C1、F6处都是唯一候选数，显然A5=4，C1=1，F6=4，清理相应行、列、宫中多余的候选数，就有图14。

请看图14，虽然C4有三个候选数245，但其中的4是第四宫中唯一为4的候选数，且已知数也不含4，可见C4为4，这是隐形唯一候选数。又A6、C5、F4都有唯一候选数，故A6为1，C5为2，F4为2。删去相关多余的候选数，得图15。

在图15中，B4、C2、D6处有唯一候选数5，B6、D2都有隐形唯一候选数2，所以B4、C2、D6都为5，B6、D2都是2，如图16，即是图M1这道题的解答。

做完题目，还需验证每行、每列、每宫数字的唯一性，才算大功告成。按数独的要求，答案还必须是唯一的，这就排除了一些多答案的另类情形。

本题用候选数法解决最关键的步骤，要用敏锐的观察来寻找突破口。而数独游戏的魅力就是经常有多样的解法，这里提供另一种思路。

回到图09，我们也可以这样推理：

＋2[A5]－2[A1]＋1[A1]－1[C1]＋24[C1|C5]－24[C4]＋5[C4]－5[B4]＋2[B4]－2[A5]

上式的意思是：假设A5为2，则A1不是2；A1只能为1，故C1不是1，C1与C5构成包含2和4的数对，则C4不含2和4；C4只好为5，则B4不能是5；B4只有等于2，这与A5为2的假设矛盾。从而A5不是2，A5必是4。读者可以验证，接着的解题过程还是比较轻松的。

解决了最重要的问题后，再用候选数，就没什么挑战性了。我们可以把图10中的候选数撤掉，变成图M2。

有一定经验但还需强化练习者可从这里开始用常规的方法做下去，还能增加一些游戏的趣味性。

图M2再解下去，就得到更简单的图M3，初学者也可在此起步做题。

从中小学到大学，大部分学生在学习数学时由于种种原因只学会套用理论解题，在逻辑推理方面的练习相对比较缺乏。数独游戏恰好就经常要在推断中寻求解题的办法，通过做数独题，能让广大学子在放松身心的同时，也可顺便补充推理方面的训练。建议中小学数学竞赛爱好者和大学生多做这种较难的六宫数独，并把一些解题技巧移植到标准九宫数独中。

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