数学速算小技巧你学会了吗陈老师（看老黄是怎么发现高数公式的）

#创作挑战赛#

其实老黄已经在学习分部积分法的过程中找到了三个公式：

(1)∫x^n*e^(ax)dx=∑(i=1->n 1)(-1)^(i-1)*n!/((n-i 1)!*a^i )*x^(n-i 1)*e^(ax) C；

(2)∫x^n*cos(ax b)dx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i 1))x^(n-i)*sin(ax b iπ/2) C；

(3)∫x^n*sin(ax b)dx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!a^(i 1))x^(n-i)*cos(ax b iπ/2) C.

随着学习探究的深入，老黄肯定会发现越来越多的公式。比如在今天的探究中，老黄就发现了一个公式的端倪，并且会在下一个作品中，整理出来分享给大家。这里老黄主要讲发现它(们)的过程。

这次老黄探究的是换元积分法和分部积分法的结合，将它们结合起来，就可以解决大多数不定积分。不过有时候，不需要应用换元积分法，直接运用分部积分法也是行得通的。比如下面的这两道例题中的不定积分，就都可以通过直接分部积分，或者结合换元积分法来解决。

例1：求∫x^3*lnxdx.

方法一：直接运用分部积分法：

解1：原积分=1/4*∫lnxdx^4【凑微分，由于幂函数的指数会增加，所以一般很少人直接用这个方法，教材也一般不教这个方法，而是直接先换元】

=1/4*x^4*lnx-1/4*∫x^4dlnx【分部积分公式的应用】

=1/4*x^4*lnx-1/4*∫x^3dx【运用了dlnx=dx/x】

=1/4*x^4*lnx-x^4/16 C.

方法二：换元积分法结合分部积分法：

解2：令t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt.【第一类换元法】

原积分=∫te^(4t)dt=1/4*∫tde^(4t)=1/4*te^(4t)-1/4*∫e^(4t)dt

=1/4*te^(4t)-1/16*∫e^(4t)d(4t)【这一步其实有换元u=4t，熟练就省略了】

=1/4*te^(4t)-1/16*e^(4t) C=1/4*x^4*lnx-x^4/16 C.

例2：求∫(lnx)^2dx.

解1：原积分=x(lnx)^2-∫xd(lnx)^2=x(lnx)^2-2∫lnxdx

=x(lnx)^2-2(xlnx-∫xdlnx)

=x(lnx)^2-2xlnx 2∫dx=x(lnx)^2-2xlnx 2x C.【这个结果让老黄发觉，可能有∫x^a*(lnx)^ndx的不定积分公式】

解2：令t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt.

原积分=∫t^2*e^tdt【换元之后可以直接套用公式(1)】

=∑(i=1->3)(-1)^(i-1)∙2!/((3-i)!)*t^(3-i)e^t C 【这个应用可以称为公式法】

=t^2*e^t-2te^t 2e^t C=x(lnx)^2-2xlnx 2x C.

再做一道练习：求∫lnx/x^3 dx.

最后一个问题：如何求不定积分∫x^a*(lnx)^ndx, n∈N*, a≠0.

关注老黄下一篇作品，就会有分享。当然如果你能够自己推出来的话，老黄会更开心的。