人教版二次函数极值题（二元函数fxy）

本文主要通过二元函数的极值判定必要条件，介绍计算二元函数f(x,y)= x^2-2xy 2y^2 x-y 2极值的主要过程步骤。

设二元函数z=f(x,y)在点Mo(xo,yo)的某一邻域内连续,且有连续的一二阶偏导数,又Mo(xo,yo)是驻点,令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),且△=B^2-AC，则：当△<0时,点Mo(x,yo)是极值点.且当A<0时,点Mo(xo,yo)是极大值点;当A>0时，Mo(x,y)是极小值点。

对二元函数f分别对x，y求偏导数，有：

f'x(x,y)=2x-2y 1;

f'y(x,y)=-2x 4y-1,

令f'x(x,y)= f'y(x,y)=0，则有：

2y-2x=1，……(1)

4y-2x=1，……(2)

由方程(1)、(2)可求出：

x0=-1/2，y0=0。

根据二元函数的极值判断规则，有：

A=f''xx=2；

B=f''xy=-2；

C=f''yy=4.

此时△=B^2-A*C=(-2)^2-2*4=-4＜0，

又因为A=2>0,所以该二元函数有最小值，则函数的极值为：

f(x,y)min=f(x0,y0)

=x0^2-2*x0* y0 2* y0^2 x0-y0 2

=(-1/2)^2-2*(-1/2) 2*0^2 1*(-1/2)-1*0 2

=7/4.