与圆有关的最值问题解题步骤（与圆相关的综合题）

各位朋友，大家好！“数学视窗”继续与大家分享与圆有关的综合解答题，这道题目有3个小问，第1小题是证明题，难度并不大，属于学生应该掌握的常规题，第2小题是求点的运动路径的长，第3小题虽然难度不是很大，但是要正确判断出何时面积最大，考虑问题要全面。

当然，只有学生熟练掌握了相关知识点，才能顺利做出此题。这道题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，弧长的计算等。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当α=90°时，求证：BH是⊙O的切线；

（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；

（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）根据已知条件易证△AOP≌△BOH，得到∠OPA=∠OHB，进一步可以得出∠OPA=90°，进而即可证明BH是⊙O的切线；

（2）过点B可以作两条⊙O的切线BC，BD，然后分情况讨论，当点H与点C或点D重合时，即可分别计算得出答案；

（3）当H运动到与AB的距离最大时，△AHB面积就最大，根据此信息进而可以求得结果．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：∵α=90°，∠AOB=90°，

∴∠POH-∠AOH=∠AOB-∠AOH，

即∠AOP=∠BOH，

在△AOP和△BOH中，

OA＝OB，

∠AOP＝∠BOH，

OP＝OH，

∴△AOP≌△BOH（SAS），

∴∠OPA=∠OHB，

∵AP是⊙O的切线，

∴∠OPA=90°，（切线的性质）

∴∠OHB=90°，即OH⊥BH，

∴BH是⊙O的切线；（切线的判定）

（2）如图，过点B作⊙O的切线BC，BD，切点分别为C，D，

连接OC，OD，则有OC⊥BC，OD⊥BD，

∵OC=2，OB=4，

∴cos∠BOC＝OC/OB

＝2/4＝1/2，（利用三角函数求出角度）

∴∠BOC=60°，

同理∠BOD=60°，

由（1）知：点H与点C重合，

当点H与点C重合时，α=90°，

∴弧PH的长为（直接运用弧长公式即可）

90π×2/180＝π；

当点H与点D重合时，

α=∠POC ∠BOC ∠BOD=90° 2×60°=210°，

∴弧PH的长为

210π×2/180＝7π/3，

∴当BH与⊙O相切时，旋转角α=90°或210°，

点H运动路径的长为π或7π/3；

（3）S△AHB=1/2?AB?h，

h表示AB边上的高，即点H到直线AB的距离，

作ON⊥AB于点N，

由题意可知，在Rt△ONB中，∠OBN=45°，OB=4，

∴ON=OBcos45°=4cos45°=2√2，

∵点H在圆O上运动，

∴h最大=ON OH=2√2 2，

∴当△AHB面积最大时，点H到AB的距离为2√2 2.

（完毕）

这道题具有一定的综合性，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。

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