超难定积分题目（超复杂的不定积分问题）

#创作挑战赛#

当m,n都是大于1的正整数时，正割的m次方乘正弦的n次方的不定积分，或余弦的m次方乘余割的n次方的不定积分怎么求？

这是一个很复杂的问题，需要分很多种情况来讨论。当m和n相差一个偶数时，问题相对会比较简单一点。我们可以利用余弦的m次方乘正弦的n次方的不定积分递推公式来解决这种情况下的问题。

其实正割的m次方，就是余弦的-m次方，而余割的n次方，就是正弦的-n次方。运用上面的公式就可以推出最后的公式。

公式具体的推导过程，在《老黄学高数》系列学习视频第278讲中有介绍，就不再赘述。这里要探究的是当m,n相差一个奇数时的公式。它的情况要比相差一个偶数时复杂四倍以上。因此，这篇文章只介绍其中当m>n时，正割的m次方乘正弦的n次方的不定积分公式的推导。

就算这样，也还要分n的奇偶性两种情况，当n=2k<m时，我们可以利用正弦的降幂递推公式，一直把正弦的指数降到等于0，就得到一个含有正割正整数幂的不定积分的式子，这个不定积分在《老黄学高数》第268讲和第275讲都有详细的推导。而其它各项可以概括进一个求和公式中。关键的问题是要把各项的系数理清楚，这是一个很有技术含量的活。推导过程和公式都只能以图片的形式展示如下：

尝试解一道例题：例1：求∫(secx)^7(sinx)^4dx.

本文中所有例题的结果老黄都已经检验过了。你也可以检验一下，挺能锻炼这方面的计算能力的。这里有一种特殊的情况，当m-n=1时，公式需要进行适当的调整。关键是当m-n=1时，分子中的因式m-n-2=-1, 而(-1)!!在这里是没有意义的。其实(m-n-2)!!的存在是为了约掉(m-2)!!中小于(m-n)的因数，而当m-n=1时，并不存在这样的因数，所以要去掉(m-n-2)!!.

再来一道例题：例2：求∫(secx)^5*(sinx)^4dx.

而当n=2k 1<m时，并无法通过降幂把正弦的指数降为0，只能降到1，得到(secx)^m*sinx的不定积分相关的式子。这个不定积分的原函数是(secx)^(m-1)x/(m-1). 因此直接代进公式中就可以了，其余部分与上一种情况几乎没有任何差别。

继续看例3：求∫(secx)^6*(sinx)^3dx.

同样的，这种情况下也有一个特例，就是当m-n=1时，分子中也不会出现因式(m-n-2)!!.

最后一道例题：例4：求∫(secx)^6*(sinx)^5dx.

将公式总结如下：

下一次，老黄再和大家分享n>m的情形要怎么推导公式。肯定有人会吐槽老黄为什么要把情况分得这么细，是自找麻烦。那是因为如果不分得这么细的话，会出现阶乘中从正数乘到负数的情况，很难确定具体的阶乘。而且很容易出现分母为0没有意义的情况。而且公式明明就不同，自然几乎不可能统一推导了。假如强行统一，理论上也不是做不到。就是会比老黄分情况讨论烦得多得多得多。如果你能做到，老黄要对你顶礼膜拜。

不管怎么样？老黄会佩服你探究的精神。如果学数学能够有这样的探究精神，又何愁数学学不好呢！关键是要去探究哦，千万不要仅凭一张嘴！