初中数学中考专题：中考数学微专题16

本文就求解梯形问题时辅助线的作法进行归类探究，供参考.

一、连结对角线，构造三角形

连结对角线的本质是将梯形转化为基本三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题．

例1 求证：

梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2．

二、添加平行线，构造平行四边形

添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形．

1、向形内作平行线

例2 如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝80°，∠C＝50°，DC＝9，AB＝5，求AD的长．

解 过点B作BE∥AD，交DC于点E． 由题可知四边形ADEB为平行四边形，

∴AD＝BE．AB＝DE＝5，

∠D＝∠BEC＝80°．

∠C＝50°．

∴∠EBC＝180°－50°－80°＝50°，

即BE＝EC＝DC－DE＝4，

故AD＝4．

2、向形外作平行线

例3　如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD．若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD面积的最大值为_______．

解 过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，易知DE⊥BD．四边形ACED为平行四边形，

故梯形ABCD面积的最大值为25．

​三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角三角形，再运用二者的规律去解决问题，

例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，上底为10，下底为18，腰长为5．求梯形的面积．

解 过点A、D作BC垂线，垂足分别为E、F，

∴AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形，

​即EF=AD=10．

四、反向延长腰，构造特殊三角形

若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的．

例5 如图5，已知梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，求此梯形的周长．

解 反向延长AB，DC交于点E，

由题意可知，△EBC为等边三角形．

又∵∠EAD＝∠EDA＝60°．

∴△EAD为等边三角形，

∴AB＝BE－AE

＝BC－AD＝8－2

＝6．

故梯形的周长为

AB＋BC＋CD＋DA

＝6＋8＋6＋2＝22．

五、添加中位线

作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题．

例6 如图6，已知AE∥DH，B、C分别是AD的四等分点，F、G分别是EH的四等分点，AE＝28．DH＝36，求BF和CG的长度．

解 分别取AD、EH的中点M、N，连结MN，

∴MN是梯形ADHE的中位线，

即MN＝（AE＋DH）/2＝(28＋36)/2

＝32．

又∵BF、CG分别是梯形AMNE、MDHN的中位线，

六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等三角形解决问题．

例7 如图7，梯形ABCD中，M为腰AD的中点，MH⊥BC于点H．求证：S梯形ABCD＝BC·MH．

证明 连结CM，并延长交AB的反向延长线于点N，连结BM．

根据题意，由“角边角”可知

七、添加对称轴，利用对称性

具备对称性质的图形十分优美，梯形中添加对称轴后，对应的线段、角度等均相等．

例8 如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．请在梯形内部求作一点O，使OA＝OB＝OC＝OD．

作法 (1)作梯形ABCD的对称轴分别交AD、BC于点M、N．

(2)作腰AB的垂直平分线交MN于点O，

则点O即为所求作点，

证明 ∵MN为梯形ABCD的对称轴，

∴MN垂直平分AD、BC，

∴OA＝OD，OB＝OC．

又∵点O是腰AB的垂直平分线与MN的交点，

​∴OA＝OB．

​故OA＝OB＝OC＝OD．

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