一模选择压轴题大全（茂名二模）

茂名“二模”的填空压轴题很有意思，用“切线放缩”易解，用“构造大法”亦可，但都不外乎“参数分离”的基本思想，这两种方法的详解过程均在答案中，不过多说明了。

下面，我重点来说一下“分而治之”的函数思想解题方法！

对于某些函数，其图形是有凹、凸之分的，凹函数有极小值、凸函数有极大值，如果这个极小值不小于那个极大值，就有好戏看啦。

简而言之，有两个函数，一上一下，一凹一凸，上面的为凹函数(简称“上函数”)，有极小值，下面的为凸函数(即“下函数”)，有极大值，需要分别求出极值来再作比较，即为“凹凸反转，分而治之”法！

对于凹函数和凸函数的选取，也是有一定讲究的，即极值点存在且易求。

常用作凹函数模型的有:e^x/x，x/lnx，x－lnx，xlnx等及其同构函数，它们有极小值;常用作凸函数模型的有:lnx/x，x/e^x，sinx/x，sinx/e^x等及其同构函数，它们有极大值。

用“凹凸反转，分而治之”来解导数题，就要设法向凹凸函数方面转化，尤其是凹函数(即上函数)的选取往往在解题中起着关键的作用。

我们来看第16题的解析——

解法3.“凹凸反转，分而治之”法:

由于f(x)≥g(x)，即x²＋e^x≥(m²＋1)x＋lnx，因x>0，故有x＋e^x/x≥m²＋1＋lnx/x。

(思路方向:e^x/x为凹函数，lnx/x为凸函数，可凹凸反转，分而治之矣。)

即得，e^x/x≥m²＋1＋lnx/x－x。

(注意:lnx/x－x的凹凸性与lnx/x的相一致，将lnx/x－x的图象向上平移m²＋1个单位就能得到m²＋1＋lnx/x－x的图象。)

可令h(x)=e^x/x，p(x)=lnx/x－x，则有:

①h'(x)=e^x(x－1)/x²，显然，h'(1)=0。

当x∈(0，1)时，h'(x)<0，即此时h(x)单调递减;当x∈(1， ∞)时，h'(x)>0，有h(x)单调递增。

则，当x=1时，h(x)有最小值，即h(x)min=h(1)=e。

②p'(x)=(1－lnx－x²)/x²，显然，p'(1)=0。

当x∈(0，1)时，因lnx<x－1，有1－lnx－x²>1－(x－1)－x²=x－x²=x(1－x)>0，即p'(x)>0，则p(x)单调递增;当x∈(1，＋∞)时，有p'(x)<0，则p'(x)单调递减。

则，当x=1时，p(x)有最大值，即p(x)max=p(1)=－1。

因此，由凹函数h(x)和凸函数p(x)的简单示意图可知，要使f(x)≥g(x)，即h(x)≥m²＋1＋p(x)，则p(x)的图象向上平移时的最大值为e＋1，即m²＋1≤e＋1，从而可得－√e≤m≤√e，即m∈[－√e，√e]。

反馈:“凹凸反转，分而治之”是解决函数问题的一种法宝，上函数的选取尤其重要，常见的凹、凸函数要熟悉！

附:分而治之的原理——

数学如此有趣，方法同等重要！