动量守恒定律乐乐课堂（第一章动量和动量守恒定律）

第一节　冲量　动量

[学习目标]　1.理解冲量的概念并会进行简单计算，知道冲量是矢量.2.理解动量的概念及其矢量性，会计算一维情况下的动量变化量.3.理解动量与动能的区别与联系．

一、冲量

1．定义：在物理学中，将Ft定义为冲量，用I表示．

2．公式：I＝Ft.

3．方向：冲量是矢量，它的方向由力的方向决定，如果力的方向在作用时间内不变，冲量的方向与力的方向相同．

4．大小：对一个随时间变化的力来说，冲量的大小等于F－t图像下方的阴影面积．

5．单位：冲量的单位是牛秒，符号是N·s.

二、动量

1．定义：物体的质量和速度的乘积．

2．公式：p＝mv.

3．动量的矢量性：动量是矢(填“矢”或“标”)量，方向与速度的方向相同，运算遵循平行四边形定则．

4．单位：动量的单位是千克米每秒，符号是kg·m/s

5．动量与动能的区别

(1)动量是一个与力在时间上的积累有关的物理量，具有方向性，是矢量，它表示传递机械运动的本领．

(2)动能是一个与力在空间上的积累有关的物理量，是标量，它表示物体做功的本领．

1．判断下列说法的正误．

(1)用力推物体，物体没有动，则人对物体的冲量为零．(　×　)

(2)力越大，力对物体的冲量就越大．(　×　)

(3)动量相同的物体，运动方向一定相同．(　√　)

(4)动量越大的物体，其速度一定大．(　×　)

(5)一个物体(质量不变)的动量改变，它的动能一定改变．(　×　)

(6)一个物体(质量不变)的动能改变，它的动量一定改变．(　√　)

2.如图所示，一质量为m的物体在水平外力F作用下保持静止状态，则在时间t内力F对物体的冲量为________，摩擦力对物体的冲量为________，重力对物体的冲量为________，支持力对物体的冲量为________．(设力F的方向和重力方向为正方向，重力加速度为g)

答案　Ft　－Ft　mgt　－mgt

解析　对物体受力分析如图，物体保持静止，则F＝f，mg＝FN，故F对物体的冲量为Ft，摩擦力对物体的冲量为－Ft，重力对物体的冲量为mgt，支持力对物体的冲量为－mgt.

一、冲量及其计算

导学探究

如图所示，一个质量为m的物体在与水平方向成θ角的推力F的作用下保持静止状态，经过一段时间t，推力F做的功是多少？推力F的冲量是多大？方向如何？

答案　推力F做的功是零，冲量大小是Ft，方向与F的方向相同．

知识深化

1．对冲量的理解

(1)冲量是过程量

冲量是力作用在物体上的时间累积效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量．

(2)冲量是矢量

在力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同．

2．冲量的计算

(1)求恒力的冲量

冲量等于力和力的作用时间的乘积(无论物体是否运动，无论物体在该力的方向上是否有位移)．

(2)求变力的冲量

①若力与时间成线性关系，则可用平均力求变力的冲量．

②若给出了力随时间变化的图像如图所示，则图像与t轴所围面积即表示力F在这段时间内的冲量．

例1　如图所示，在倾角为θ＝37°的固定斜面上有一质量m＝5 kg的物体沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，物体下滑2 s的时间内，求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，

g＝10 m/s2)

(1)物体所受各力的冲量；

(2)物体所受合力的冲量．

答案　(1)重力的冲量为100 N·s，方向竖直向下　弹力的冲量为80 N·s，方向垂直斜面向上　摩擦力的冲量为16 N·s，方向沿斜面向上

(2)44 N·s，方向沿斜面向下

解析　(1)重力的冲量IG＝mgt＝100 N·s，方向竖直向下

弹力的冲量IN＝mgtcos 37°＝80 N·s，方向垂直斜面向上

摩擦力的冲量If＝μmgtcos 37°＝16 N·s，方向沿斜面向上

(2)合力的冲量I合＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)t＝44 N·s，方向沿斜面向下．

例2　一物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示，求0～8 s时间内拉力的冲量大小．

答案　18 N·s

解析　F－t图像与t轴所围的面积表示冲量的大小，由此可得力F在0～8 s内的冲量为I＝F1t1＋F2t2＋F3t3＝18 N·s.

二、动量　动量的变化量

导学探究

某同学将0.5 kg的足球以5 m/s的速度踢到竖直墙上，足球以大小为5 m/s的速度被反向弹回．

(1)足球的初动量和末动量是否相同？

(2)足球的动量变化量是多少？

答案　(1)足球初、末动量大小相同，但方向不同，故初、末动量不同．

(2)设初速度方向为正方向，Δp＝mv2－mv1＝0.5×(－5) kg·m/s－0.5×5 kg·m/s＝－5 kg·m/s.

即动量变化量的大小为5 kg·m/s，方向与初速度方向相反．

知识深化

1．对动量的理解

(1)瞬时性：物体的动量对应某一时刻或某一位置，是一个状态量．

(2)矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同．

(3)相对性：因物体的速度与参考系的选取有关，故物体的动量也与参考系的选取有关，具有相对性．

2．动量的变化量Δp

(1)表达式：Δp＝p2－p1.

该式为矢量式，运算遵循平行四边形定则，当p2、p1在同一条直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算．

(2)方向：方向与速度变化的方向相同，在合力为恒力的情况下，物体动量变化的方向也与物体加速度和合外力的方向相同．

例3　(多选)(2022·天津二中月考)关于动量的变化，下列说法中正确的是(　　)

A．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp的方向与运动方向相同

B．做直线运动的物体速度减小时，动量的增量Δp的方向与运动方向相反

C．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp为零

D．物体做平抛运动时，动量的增量一定不为零

答案　ABD

解析　当做直线运动的物体速度增大时，其末动量p2大于初动量p1，由矢量的运算法则，可知Δp＝p2－p1＞0，与物体运动方向相同，如图甲所示，A正确．当做直线运动的物体速度减小时，p2＜p1，如图乙所示，Δp与运动方向相反，B正确．当物体的速度大小不变时，其方向可能变化，也可能不变；动量可能不变化，即Δp＝0，也可能动量大小不变而方向变化，此种情况Δp≠0，C错误．当物体做平抛运动时，动量的方向变化，即动量一定变化，Δp一定不为零，如图丙所示，D正确．

例4　如图所示，一足球运动员踢一个质量为0.4 kg的足球．

(1)若开始时足球的速度是4 m/s，方向向右，踢球后，球的速度为10 m/s，方向仍向右(如图甲)，求足球的初动量、末动量以及踢球过程中足球动量的改变量；

(2)若足球以10 m/s的速度撞向球门门柱，然后以3 m/s的速度反向弹回(如图乙)，求这一过程中足球的动量改变量．

答案　见解析

解析　(1)取向右为正方向，初、末动量分别为：

p＝mv＝0.4×4 kg·m/s＝1.6 kg·m/s，方向向右，

p′＝mv′＝0.4×10 kg·m/s＝4 kg·m/s，方向向右，

动量的改变量为Δp＝p′－p＝2.4 kg·m/s，方向向右．

(2)取向右为正方向，初、末动量分别为：

p1＝mv1＝0.4×10 kg·m/s＝4 kg·m/s，方向向右，

p2＝mv2＝0.4×(－3) kg·m/s＝－1.2 kg·m/s，即方向向左，

动量的改变量为Δp′＝p2－p1＝－5.2 kg·m/s，负号表示方向向左．

三、动量与动能的区别与联系

导学探究

如图所示，摩天轮在竖直平面内做匀速圆周运动，游客相对于摩天轮的轿厢保持静止．

1．游客在运动过程中的动量是否相同？为什么？

答案　不相同．动量p＝mv为矢量，方向与速度方向一致，随轿厢做匀速圆周运动的游客速度方向时刻在变，因此其动量方向也在时刻改变．

2．游客在运动过程中的动能是否相同？为什么？

答案　相同．动能Ek＝mv2为标量，随轿厢做匀速圆周运动的游客速度大小始终不变，其动能也保持不变．

知识深化

动量和动能的比较

	动量	动能
定义式	p＝mv	Ek＝mv2
标矢性	矢量	标量
变化决 定因素	动量的改变由合外力及其作用时间的乘积决定	动能的改变由合外力所做的功决定
换算关系	p＝，Ek＝

例5　(多选)对于一个质量不变的物体，下列说法正确的是(　　)

A．物体的动量发生变化，其动能一定变化

B．物体的动量发生变化，其动能不一定变化

C．物体的动能发生变化，其动量一定变化

D．物体的动能发生变化，其动量不一定变化

答案　BC

解析　当质量不变的物体的动量发生变化时，可以是速度的大小发生变化，也可以是速度的方向发生变化，还可以是速度的大小和方向都发生变化．当物体的速度方向发生变化而速度的大小不变时，物体的动量(矢量)发生变化，但动能(标量)并不发生变化，选项A错误，B正确．当质量不变的物体的动能发生变化时，必定是其速度的大小发生了变化，而无论其速度方向是否变化，物体的动量必定发生变化，选项C正确，D错误．

例6　一小孩把一质量为0.5 kg的篮球由静止释放，释放后篮球的重心下降高度为1.25 m时与地面相撞，反弹后篮球的重心上升的最大高度为0.45 m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，求地面与篮球相互作用的过程中：

(1)篮球动量的变化量；

(2)篮球动能的变化量．

答案　(1)4 kg·m/s，方向竖直向上　(2)减少了4 J

解析　(1)篮球与地面相撞前瞬间的速度大小为v1＝＝ m/s＝5 m/s，方向竖直向下，篮球反弹后的初速度大小v2＝＝ m/s＝3 m/s，方向竖直向上．规定竖直向下为正方向，篮球的动量变化量为

Δp＝(－mv2)－mv1＝－0.5×3 kg·m/s－0.5×5 kg·m/s＝－4 kg·m/s.

即篮球的动量变化量大小为4 kg·m/s，方向竖直向上．

(2)篮球的动能变化量为ΔEk＝mv22－mv12＝××32 J－××52 J＝－4 J

即动能减少了4 J.

拓展延伸　若篮球与地面发生碰撞时无能量损失，反弹后仍然上升到1.25 m高度处，则篮球动量的变化量是多少？动能的变化量是多少？

答案　5 kg·m/s，方向竖直向上　0

解析　发生碰撞前后速度大小不变，方向改变，由题可知，碰撞前v1＝5 m/s，方向竖直向下，碰撞后v2＝5 m/s，方向竖直向上．规定竖直向下为正方向．

Δp＝(－mv2)－mv1＝－5 kg·m/s，即篮球的动量变化量大小为5 kg·m/s，方向竖直向上，ΔEk＝mv22－mv12＝0.

考点一　冲量及其计算

1．关于力的冲量，下列说法正确的是(　　)

A．力越大，力的冲量就越大

B．作用在物体上的力大，力的冲量不一定大

C．静置于地面的物体受到水平推力F的作用，经时间t物体仍静止，则此推力的冲量为零

D．若F1与作用时间t的乘积F1t1的大小等于F2与作用时间t2的乘积F2t2的大小，则这两个冲量相同

答案　B

解析　由I＝Ft可知，力越大，力的冲量不一定越大，还与时间有关，故A错误，B正确；静置于地面的物体受水平推力F的作用，经时间t物体仍静止，则此推力的冲量为Ft，故C错误；冲量是矢量，大小相等，若方向不同，则这两个冲量不相同，故D错误．

2.(多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，经时间t，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)

A．重力对物体的冲量大小为mgtsin θ

B．支持力对物体的冲量大小为零

C．静摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ

D．合力对物体的冲量大小为零

答案　CD

解析　根据冲量的定义知，重力对物体的冲量大小为mgt，A错误；如图，对物体进行受力分析可知支持力大小FN＝mgcos θ，则支持力对物体的冲量大小为mgcos θ·t，B错误；静摩擦力f＝mgsin θ，所以静摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ，C正确；因物体静止，所受合力为零，则合力对物体的冲量大小为零，D正确．

3.(2022·北京四中月考)一个物体受到的拉力随时间变化的图像如图所示，则1.5 s内拉力的冲量大小为(　　)

A．2.4 N·s B．1.2 N·s

C．3.0 N·s D．无法计算

答案　A

解析　根据力—时间图像与时间轴所围的面积表示冲量，可得冲量大小为2.4 N·s，A正确．

4．质量为m的运动员托着质量为M的杠铃从下蹲状态(图甲)缓慢运动到站立状态(图乙)，该过程中杠铃和人的肩部相对位置不变，运动员保持乙状态站立Δt时间后再将杠铃缓慢向上举，至双臂伸直(图丙)，运动员从甲到乙、从乙到丙经历的时间分别为t1、t2，已知重力加速度为g，则在举起杠铃的整个过程中(　　)

A．地面对运动员的冲量大小为0

B．地面对运动员的冲量大小为(M＋m)g(t1＋t2)

C．运动员对杠铃的冲量大小为Mg(t1＋t2＋Δt)

D．运动员对杠铃的冲量大小为Mg(t1＋t2)

答案　C

解析　因缓慢运动，运动员和杠铃均可视为处于平衡状态，则地面对运动员的支持力大小为(M＋m)g，作用时间为t1＋t2＋Δt，故冲量大小为I＝(M＋m)g(t1＋t2＋Δt)，A、B错误；运动员对杠铃的力的大小为Mg，其冲量大小为I′＝Mg(t1＋t2＋Δt)，C正确，D错误．

考点二　动量　动量的变化量

5．关于动量，下列说法正确的是(　　)

A．做匀速圆周运动的物体，动量不变

B．做匀变速直线运动的物体，它的动量一定在改变

C．物体的动量变化，动能也一定变化

D．甲物体动量p1＝5 kg·m/s，乙物体动量p2＝－10 kg·m/s，所以p1>p2

答案　B

解析　动量是矢量，做匀速圆周运动的物体其速度方向时刻在变化，故动量时刻在变化，A错误；做匀变速直线运动的物体其速度大小时刻在变化，所以动量一定在变化，B正确；物体速度方向变化，但大小不变，则其动量变化，而动能不变，C错误；动量的符号只表示方向，不表示大小，故p1<p2，D错误．

6．(多选)(2021·天水市高二期末)质量为3 kg的物体在水平面上做直线运动，若速度大小由

2 m/s变成6 m/s，那么在此过程中，动量变化量的大小可能是(　　)

A．4 kg·m/s B．12 kg·m/s

C．20 kg·m/s D．24 kg·m/s

答案　BD

解析　若两速度方向相同，则动量的变化量为Δp＝mvt－mv0＝3×6 kg·m/s－3×2 kg·m/s＝

12 kg·m/s，若两速度方向相反，以末速度方向为正方向，则动量的变化量为Δp′＝mvt－mv0＝3×6 kg·m/s－(－3×2) kg·m/s＝24 kg·m/s，故选B、D.

考点三　动量与动能的区别与联系

7．(2022·重庆市第三十七中学高二月考)下列说法中正确的是(　　)

A．动量大的物体动能一定大

B．动能大的物体动量一定大

C．动能为零的物体动量一定为零

D．动量为零的物体动能不一定为零

答案　C

解析　根据动能和动量的关系：Ek＝mv2＝，故A、B、D错误，C正确．

8．(多选)运动的两物体的质量之比为2∶1，则：(　　)

A．当它们的动能相同时，动量大小之比p甲∶p乙＝2∶1

B．当它们的动能相同时，动量大小之比p甲∶p乙＝∶1

C．当它们的动量相同时，它们的动能之比Ek甲∶Ek乙＝2∶1

D．当它们的动量相同时，它们的动能之比Ek甲∶Ek乙＝1∶2

答案　BD

解析　动能与动量大小的关系为：p＝，当它们的动能相同时，动量大小之比p甲∶p乙＝∶1，故A错误，B正确；根据动能与动量的关系：Ek＝mv2＝，当它们的动量相同时，它们的动能之比Ek甲∶Ek乙＝1∶2，故C错误，D正确．

9.(2021·哈尔滨市第三十二中学校期中)如图所示，两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑固定斜面由静止开始滑下，下列说法正确的是(　　)

A．下滑过程中，重力的冲量相同

B．下滑过程中，弹力的冲量相同

C．下滑过程中，合力的冲量大小相等

D．到达斜面底端时，动量相同

答案　C

解析　物体在下滑中只有重力做功，而重力做功只与高度差有关，故两种情况下重力做功相等，由机械能守恒定律可得，两物体下滑到底部时的动能相同，则速度大小相同，但方向不同，所以到达斜面底端时，二者动量不同，故D错误；物体下滑到底部时的速度大小相等，初速度均为零，故平均速度大小相等，但是两物体下滑的位移不同，故两物体的下滑时间一定不同，故重力的冲量不相等；由动量定理可得，物体下滑到底部时的速度的大小相同，所以合外力的冲量大小一定相等，但由于重力的冲量不相等，所以弹力的冲量大小一定不相等，故A、B错误，故C正确．

10．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动．在启动阶段列车的动量(　　)

A．与它所经历的时间成反比 B．与它的位移成反比

C．与它的速度成正比 D．与它的动能成正比

答案　C

解析　根据p＝mv＝mat，可知列车的动量与它所经历的时间成正比，选项A错误；根据p＝mv＝m，则动量与它的位移的平方根成正比，选项B错误；根据p＝mv可知，动量与它的速度成正比，选项C正确；根据p＝，可知动量与它的动能的平方根成正比，选项D错误．

11．(多选)(2021·三亚市实验中学高二期中)关于动量、冲量以及动量变化说法正确的是(　　)

A．一个做曲线运动的物体，其动量的大小和方向变化，而在相等时间内物体受到的合外力的冲量不可能始终相等

B．一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，而在相等时间内合外力的冲量大小可能总相等

C．一个物体合外力冲量为零时，虽然其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大

D．一个运动物体，其动量越来越大，而其加速度一定越来越大

答案　BC

解析　物体做曲线运动，速度方向一定改变，速度大小可能改变，在相等时间内物体受到的合外力的冲量可能始终相等，如平抛运动，故A错误；一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，如果受到合外力的大小不变，则相等时间内合外力的冲量大小总相等，如匀速圆周运动，故B正确；物体合外力冲量为零时，根据动量定理，其动量不变；但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大，只要保证合力为零即可，故C正确；运动物体，其动量越来越大，说明速度越来越大，但加速度可能越来越小，故D错误．

12.如图所示，一个质量为430 g的金属块沿直线垂直右侧墙面向右运动，到达A点时速度大小为5 m/s，到达B点时速度大小为4 m/s，与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为3 m/s，与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为2.8 m/s，返回B点时速度大小为1.8 m/s，分别求金属块由A到B、与墙壁碰撞前后、由A到返回B的动量变化量．

答案　0.43 kg·m/s，方向向左　2.494 kg·m/s，方向向左　2.924 kg·m/s，方向向左

解析　设向右为正方向，则金属块在A点的动量为pA＝mvA＝2.15 kg·m/s，方向向右．

第一次到达B点的动量为pB1＝mvB1＝1.72 kg·m/s，方向向右．

与墙壁碰撞前瞬间的动量p墙1＝mv墙1＝1.29 kg·m/s，方向向右．

与墙壁碰撞后瞬间的动量p墙2＝m(－v墙2)＝－1.204 kg·m/s，方向向右．

返回B点的动量为pB2＝m(－vB2)＝－0.774 kg·m/s，方向向左．

金属块由A到B的动量变化量Δp1＝pB1－pA＝－0.43 kg·m/s，负号表示动量变化量方向向左

金属块与墙壁碰撞前后的动量变化量Δp2＝p墙2－p墙1＝－2.494 kg·m/s，负号表示动量变化量方向向左

金属块由A到返回B的动量变化量Δp3＝pB2－pA＝－2.924 kg·m/s，负号表示动量变化量方向向左．

13．中国女排为国家获得了很多的荣誉，女排精神激励青少年努力拼搏，为国争光．若在某次比赛中女排运动员将质量为m＝0.26 kg的排球水平击出，排球飞出时距水平地面高h＝

2.45 m，以v0＝2 m/s的水平速度飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：

(1)飞出后0.4 s内重力对排球的冲量；

(2)排球落地时的动量大小．

答案　(1)1.04 N·s，方向竖直向下　(2)3.38 kg·m/s

解析　(1)重力是恒力，0.4 s内重力对排球的冲量I＝mgt＝0.26×10×0.4 N·s＝1.04 N·s，方向竖直向下．

(2)排球落地时竖直分速度为vy＝＝7 m/s

由速度合成知，落地速度v＝＝ m/s＝13 m/s

所以排球落地时的动量大小为p＝mv＝3.38 kg·m/s.

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