微积分入门第二版（微积分笔记开篇）

写一点微积分的笔记，称为笔记，但其实是微积分的学习经验的介绍让广大在读生能够快速掌握微积分的精髓和学习途径对学完微积分的朋友，也能是一个提炼总结和提高，我来为大家科普一下关于微积分入门第二版?以下内容希望对你有帮助!

微积分入门第二版

写一点微积分的笔记，称为笔记，但其实是微积分的学习经验的介绍。让广大在读生能够快速掌握微积分的精髓和学习途径。对学完微积分的朋友，也能是一个提炼总结和提高。

开题有很多个切入角度，如学习路径、微积分的意义、书籍介绍等等。都没有先后，一个个来。

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微积分意义

微积分是每个工科学生的必修课。微积分，线性代数，概率论，离散，这几门数学类课程，微积分一般安排在大一，从上半学期就开始，一般为期一个学年。有了微积分的基础，下半学期开始大学物理，大三开始专业课程。可见微积分是整个工科的基础。从工学发展的历史来看也是基础。牛爷是经典物理的祖师爷，也算是微积分的半个祖师爷。

所以学习微积分，可以和物理紧密结合。微积分其实很大程度是描述物理系统的。而学习数学，特别是这类古典数学，和一门工学学科结合，找到概念和定理的物理意义，无疑是学习的重要方法。所以，如果不是大一新生，那么结合了自己的工科，如电子，再去看微积分，往往事半功倍。总之，结合或找到一门你自己兴趣的工科，和微积分相互印证学习，对微积分的理解将会深刻许多。反过来用微积分解决自己的工科，或者说理解工科中的数学模型和推导过程，也会顺手很多。

比方，从《信号与系统》这么课里的系统内部对能量的惯性角度，体会微分方程的来源及其对宇宙运行规律的第一描述。再比方，从电磁学的麦克斯韦方程，理解微积分统一公式表达的宇宙守恒律。

微积分本身讨论的是函数。我们高中学习的是数，数和数之间的关系，即初等函数。虽然是函数，但还是数，并没有涉及函数本身的一些抽象属性。微积分进行了进一步的抽象，研究函数。

作为两个概念的微分和积分，微积分从头至尾贯穿了这两个概念。从微的角度，即局部的角度审视函数，就有了导数、微分等等概念。从积的角度，即整体的角度，看函数，有了积分。

微，是局部；积，是整体。微分和积分是一个函数的对立统一。

微积分中有好多定理，微分中有表现形式，积分中也有对应的表现形式。

书籍介绍

学微积分不必看国外教材，国外教材并不适合我们中国。国外高中并没有对函数有深入的介绍。所以国外的微积分教材一开始都是介绍函数，甚至于还要介绍二次方程的根。而国内，我们在高中的时候接受了严格的函数训练，直接上极限的概念即可。

作为第一本微积分教材，随便选一本即可，这些教材大都编排类似。先讲一元函数微积分，这也是上半学期的重点，以微分方程结束。再讲多元函数微积分，以级数结尾，这是下半学期的。

一元函数微积分顺序为：极限---连续---导数---微分---积分---微分方程。多元函数微积分的顺序为：多元函数的极限---连续---偏导---全微分---重积分---曲线积分曲面积分---统一公式---级数，穿插梯度散度和旋度。这样分为上下两册，之间再补一下矢量和空间几何的概念。这是非常正统的，符合整个微积分逻辑的学习路径。

但这里要注意一点，任何学科的发展，都不是以自身逻辑为顺序的。牛顿莱布尼兹公式先于极限的定义，这一微积分发展历史，就可以看出。所以，要彻底学通微积分，需要反复看。比如看完统一公式，在高维度再解读牛顿莱布尼兹公式。再比如，学了积分，回看微分，它们的各自的中值定理，不定积分的求解公式和微分的公式，都是可以前后印证的。

后一章是前一章的意义，记住这一点。学了后面的章节，回头看前面的概念定理，你会对之前的飘忽的概念有扎实的理解。

完整的看完了一本教材，对微积分有了全面的认识，接下去可以看龚昇教授的《简明微积分》。《简》并不是按部就班的教材，它是你有了大局观后的读本。《简》可以给你在辩证上，对微积分有一个更高的认识。能够让你在之前的学习到的功力，融会贯通，打通任督二脉。

在之后，可以看齐友明教授的《重温微积分》。

在之后，你可以再学习其他学科的时候回想微积分。比如在信号与系统中，体会微分方程的来由。在系统的因果性中，体会自然对数e的由来。这样加深你对整个宇宙的认识。

再重申一次，微积分是手段，其余的工科是目的。所有飘忽的概念，比如那个恶心的e，在其他学科里会像你手里的键盘一样实际确切！但这一切，都需要反复体会，反复琢磨。

微积分的目的

人类为什么要发明微积分，或者说，微积分能解决什么问题。微积分，线性代数，概率论，都是很典型的应用类数学。微积分创立和完善，是被物理推着走的。先用，再夯基础。所以微积分是一门非常脚踏实地的数学。你如果觉得它抽象，是因为你没有找到微积分的落脚点，即物理意义。

微积分从头至尾，都在描述一个好函数。

什么是好函数？总体来讲，就是光滑的。车坐着是舒服的，音乐听起来不刺耳。我们喜欢的是光滑的函数，人类从来不喜欢会突变的东西。因为突变就不可琢磨，不可预知。而且光滑也是这个宇宙的本质属性，光滑是守恒的必然结果这点学完微积分统一公式可以回来再体会。

所以微积分要解决的：

1. 什么是光滑，
2. 如果不光滑，能不能用光滑的代替
3. 如果能代替，用什么代替，有没有误差，误差能不能度量

什么是光滑？可导的，连续的，就是光滑。

不弱不光滑，能不能代替？有，级数

微积分的目的，一句话，就是教你如何看待两个变量之间的关系，即函数，是不是好的，不是的话怎么办。相比于线性代数，考察的是一群变量的相互关系。细品！

学习微积分的方法

最后以学习方法结束本篇。

无他，唯做题尔。据说苏步青学微积分做了1万题，自己体会一下。上面说了，微积分是实用性数学。微积分的所有概念，都是从实践中来，回到实践中去。每个概念，都是从一个具体的物理概念引出。所以最终的题目，能夯实你对概念的理解。

题目，除了书本后的题目，更要注意章节里的例题，特别是对定理的推导。

一定要自己推导定理！

一定要自己推导定理！

一定要自己推导定理！

推导定理是掌握概念的唯一方法，概念是逻辑基础，定理是逻辑结果。你对概念掌握的越深刻，定理就会越熟悉。到最后，你就会觉得定理是不证自明的。

什么时候能够感觉到这些定理是不证自明了，甚至随便一说，就能把微积分里所有定理兜个圆了，背个贯口了。就是学通了。

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接下去几篇，我会分别从各个部分讲解微积分中一些初看起来比较飘忽的东西，以后面的视角、一个实际的物理角度，看数学概念。这些概念也是我一开始学习微积分中比较难以理解的。希望对大家有所帮助和提点。抛砖引玉。

其实所谓的难以理解，就是没有将其和具体的物理过程联系，一旦你找到了一个具体的物理概念，就会无比通畅！

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