三角函数及解三角形高考题型大全（巧妙求函数最值）

#创作挑战赛#

这是2022年高考数学全国文科甲卷填空压轴题，是一道解三角形的问题，但它的核心步骤却与是求函数的最值。需要变形运用匀值不等式，比较巧妙地解决。

已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120度，AD=2，CD=2BD. 当AC/AB取最小值时，BD=______.

请自己尝试完成！

分析：首先，画一个草图，对解题会有很大的帮助。要不然就像人的眼睛被蒙住一样，像一只无头苍蝇不知道该往哪里飞，除非你有超强的大脑，可以在脑海中构造图形，并分析图形和问题。反正老黄是做不到的。

这个图倒是一点儿也不复杂。解题的突破口在余弦公式的运用，在三角形ABD中，表示出角ADB的余弦公式，而角ADB的大小是120度，对边是AB，从而得到：

AB^2=BD^2 AD^2-2BD·AD·cos120度=BD^2 2BD 4；

在三角形ACD中，同样表示出角ADC的余弦公式，因为角ADC与角ADB是互为邻补角，所以角ADC等于60度，对边是AC，因此有：

AC^2=CD^2 AD^2-2CD·AD·cos60度=4BD^2-4BD 4.

两个余弦公式求比，就有：

(AC/AB)^2=(4BD^2-4BD 4)/(BD^2 2BD 4)=4-(12(BD 1))/(BD 1)^2 3).

可以把(AC/AB)^2看作是关于BD的函数，这就把问题转化成求函数的最值问题。因为(AC/AB)^2最小时，AC/AB就最小。不过我们要的不是这个最小值，而是取得最小值时BD的值。

求这个函数最值的方法有很多，不过老黄觉得，利用均值不等式，会相对比较简便。但直接运用不了均值不等式，为此，要把函数做为减数部分的分式取倒数的形式。即：

记M=((BD 1)^2 3)/(BD 1)=BD 1 3/(BD 1).

只要M最小，那么M的倒数就最大，即原函数做为减数部分的分式最大，原函数就最小。而很明显的，M的表达式就可以运用均值不等式了。

当BD 1=3/(BD 1)时, M最小. AC/AB最小.

我们只需求出此时BD的值就可以了。这是关于BD的分式方程，可解得BD=√3-1. 具体解方程的过程，请自行脑补。

那么你完成了吗？解法是否与老黄的相同呢？