平面解析几何与向量的关系（向量代数与空间解析几何）

平面方程的建立有两种基本思路：

1. 已知一点P(x0, y0, z0)与该平面的法向量n{A, B, C}即可确定该平面。
2. 已知平面I上的一个点P(x0, y0, z0)及与平面II平行的两个不共线的向量a={a1, a2, a3}，b={b1, b2, b3}，则可确定平面II。

下面来看题，根据求解平面方程需要的条件来解题。

第一题：

方法1：题目给了一个原点和两条直线，且这两条直线都平行于所求平面，所以使用思路2求解。

方法2：因为两条已知直线都平行于所求平面，已经知道了这两条直线的方向向量，那么就可以将这两个方向向量作个向量积，即可求出该垂直于这两条直线的方向向量，即所求平面的法向量。这样就可以运用思路1来建立平面方程了。

第二题：

方法1:平面垂直于已知平面II，也就是说所求平面的法向量n垂直于平面II的法向量，其次，所求平面经过一条已知直线，那么该平面的法向量n也垂直于这条直线。我们可以从题目中得到直线的方向向量和平面II的法向量，这两个向量作个向量积，即可得到所求平面的法向量。可是还差一个点呀，仔细想想，该平面经过直线，是不是经过这个直线上的所有点呢？根据直线的对称式方程，我们很容易发现这个点就是（1，-2，2）。

直线方程的建立有两种基本思路：

1. 已知直线L上的一个点P(x0, y0, z0)和直线L的方向向量s=(l, m, n)就可以确定直线L。
2. 两个不平行的平面相交于一直线。

下面看例题。

第一题：

方法1：使用思路1即可求解。已知一个点了，且所求直线垂直于另外两条直线，我们可以根据另外两条直线的方向向量，作个向量积，即可得到所求直线的方向向量。

方法2：过点（-1，-4，3）分别作垂直于L1和L2的平面I和平面II，则平面I和平面II的交线为所求直线。