小学奥数21个经典例题(小学奥数各年级经典题解题技巧大全-------分解因式法)

通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数,来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。

分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用,在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法,有益于开辟解题思路,启迪创造性思维。

例1:

ABC×D=1673,在这个乘法算式中,A、B、C、D代表不同的数字,ABC是一个三位数。求ABC代表什么数?(适于六年级程度)

解:因为ABC×D=1673,ABC是一个三位数,所以可把1673分解质因数,然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式,这个三位数就是ABC所代表的数。

1673=239×7

答:ABC代表239。

例2:

一块正方形田地,面积是2304平方米,这块田地的周长是多少米?(适于六年级程度)

解:先把2304分解质因数,并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数,每组质因数的积就是正方形的边长。

2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

=(2×2×2×2×3)×(2×2×2×2×3)

=48×48

正方形的边长是48米。

这块田地的周长是:

48×4=192(米)

答略。

*例3:

有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友?(适于六年级程度)

解:3250-10=3240(个)

把3240分解质因数:

3240=23×34×5

接近40的数有36、37、38、39

这些数中36=22×32,所以只有36是3240的约数。

23×34×5÷(22×32)

=2×32×5

=90

答:这个幼儿园有90名小朋友。

小学奥数21个经典例题(小学奥数各年级经典题解题技巧大全-------分解因式法)(1)

*例4:

105的约数共有几个?(适于六年级程度)

解:求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出,再求出它的个数即可。

因为,105=3×5×7,

所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个;

含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个;

含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

所以,105的约数共有4 3 1=8个。

答略。

*例5:

把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少?(适于六年级程度)

小学奥数21个经典例题(小学奥数各年级经典题解题技巧大全-------分解因式法)(2)

解:将这九个数分别分解质因数:

15=3×5

22=2×11

30=2×3×5

35=5×7

39=3×13

44=2×2×11

52=2×2×13

77=7×11

91=7×13

观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13。

由以上观察分析可得这三组数分别是:

15、52和77;

22、30和91;

35、39和44。

答略。

*例6:

有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁?(适于六年级程度)

解:把5040分解质因数:

5040=2×2×2×2×3×3×5×7

由于四个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是:

7,2×2×2,3×3,2×5

即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

答略。

*例7:

小学奥数21个经典例题(小学奥数各年级经典题解题技巧大全-------分解因式法)(3)

在等式35×( )×81×27=7×18×( )×162的两个括号中,填上适当的最小的数。(适于六年级程度)

解:将已知等式的两边分解质因数,得:

5×37×7×( )=22×36×7×( )

把上面的等式化简,得:

15×( )=4×( )

所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。

15×(4)=4×(15)

答略。

*例8:

把84名学生分成人数相等的小组(每组最少2人),一共有几种分法?(适于六年级程度)

解:把84分解质因数:

84=2×2×3×7

除了1和84外,84的约数有:

2,3,7,2×2=4,2×3=6,2×7=14,3×7=21,2×2×3=12,2×2×7=28,2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42(组),84÷3=28(组),84÷4=21(组),84÷6=14(组),84÷7=12(组),84÷12=7(组),84÷14=6(组),84÷21=4(组),84÷28=3(组),84÷42=2(组)。

因此每组2人分42组;每组3人分28组;每组4人分21组;每组6人分14组;每组7人分12组;每组12人分7组;每组14人分6组;每组21人分4组;每组28人分3组;每组42人分2组。一共有10种分法。

答略。

*例9:

把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组,每组四个数,要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。(适于六年级程度)

解:要使两组数的乘积相等,这两组乘积中的每个因数不必相同,但这些因数经分解质因数,它们所含有的质因数一定相同。因此,首先应把八个数分解质因数。

14=2×7 143=11×13

30=2×3×5 169=13×13

33=3×11 4445=5×7×127

75=3×5×5 4953=3×13×127

在上面的质因式中,质因数2、7、11、127各有2个,质因数3、5、13各有4个。

在把题中的八个数分为两组时,应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个,质因数3、5、13各有2个。

按这个要求每一组四个数的积应是:

2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

因为,(2×7)×(3×5×5)×(11×13)×(3×13×127)=14×75×143×4953,根据接下来为"14、75、143、4953"正符合题意,因此,要求的一组数是14、75、143、4953,另一组的四个数是:30、33、169、4445。

答略。

*例10:

一个长方形的面积是315平方厘米,长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。(适于五年级程度)

解:设长方形的宽为x厘米,则长为(x 6)厘米。根据题意列方程,得:

x(x 6)= 315

x(x 6)=3×3×5×7

=(3×5)×(3×7)

x(x 6)=15×21

x(x 6)=15×(15 6)

x=15

x 6=21

答:这个长方形的长是21厘米,宽是15厘米。

*例11:

已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然数各是多少?(适于五年级程度)

解:设这三个连续自然数分别是x-1,x,x 1,根据题意列方程,得:

(x-1)×x×(x 1)

=210

=21×10

=3×7×2×5

=5×6×7

比较方程两边的因数,得:x=6,x-1=5,x 1=7。

答:这三个连续自然数分别是5、6、7。

*例12:

将37分为甲、乙、丙三个数,使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?(适于六年级程度)

解:把1440分解质因数:

1440= 12×12×10

=2×2×3×2×2×3×2×5

=(2×2×2)×(3×3)×(2×2×5)

=8×9×20

如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:

8×9=72,

20×3 12=72

正符合题中条件。

答:甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。

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