圆周率旋转压轴大题中考数学（求解圆最值有策略）

许多同学在做题时碰到一些与圆有关的最值问题，往往无从下手。其实只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！关于圆的最值问题多出在选择题或填空题的压轴题，小伙伴们，下面和大家一起研究这一题型。

招数1：利用轴对称性转化求最值

例1．如图，已知⊙O的半径为R，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP PD的最小值是（ ）

A．2R B．√3R C．√2R D．R

【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC PD的最小值为C′D．

【解答】作点C关于AB的对称点C′，连接DC′，根据题意以及垂径定理，得弧C′D的度数是120°，则∠C′OD＝120度．作OE⊥C′D于E，则∠DOE＝60°，则DE＝√3/2R，C′D＝√3R．故选：B．

【点评】此类题只要是能够正确确定点P的位置．此题综合运用了垂径定理、勾股定理进行计算．

例2．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE BF的最小值是（ ）

A．√7 B．2√7 C．3√3 D．4√3

【分析】先根据圆内接矩形的四个角为90°的性质可知：AC为⊙O的直径；根据轴对称的性质，作辅助线，构建最短路径时的点F，由两点之间线段最短可知：此时BH最小，也就是BF OF为最小，接着证明OF＝BE即可，利用三角形全等可得结论；并利用勾股定理求出BH的长．

【解答】作O关于CD的对称点H，连接OH，交CD于G，过H作直线BC的垂线，垂足为M，连接BH交CD于F，连接OF，此时BF OF为最小，

∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，

∵半径r＝2，AB＝2，∴OC＝AB＝OA＝OB＝2，

∴△OAB是等边三角形，

∵ABCD是⊙O内接矩形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠BAO，

∵AB＝2，AC＝4，由勾股定理得：BC＝2√3，

∵AE＝CF，∴△ABE≌△COF，∴BE＝OF，

∴BE BF＝OF BF，由对称性得：OF＝FH，OG＝GH，

∴BE BF＝BF FH＝BH，

∵OC＝OD，OH⊥CD，

∴CG＝DG＝1/2CD＝1/2AB＝1，

∵∠CGH＝∠GCM＝∠M＝90°，

∴四边形GCMH是矩形，

∴CM＝GH＝1/2BC＝1/2×2√3＝√3，HM＝CG＝1，

在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH＝2√7，

即BF BE的最小值为2√7；故选：B．

【点评】本题考查了轴对称的最短路径问题、矩形、圆周角定理、勾股定理，此类题的关键是找到最短路径中的动点的位置：可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点；构建恰当的直角三角形，利用勾股定理计算线段的和取最小值时的长．

招数2：构建三角形的三边的不等关系求最值

例3．如图，两同心圆半径分别为√3、3，点A、B分别为两同心圆上的动点，以AB为边作正方形ABCD，则OD的最大值为________ ．

【分析】把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用"边角边"证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′＝BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．

【解答】如图，把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，

∴△AOO′是等腰直角三角形，

∵AO＝3，∴OO′＝√2AO＝3√2，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵∠BAO ∠BAO′＝∠DAO′ ∠BAO′＝90°，

∴∠BAO＝∠DAO′，

在△ABO和△ADO′，

AO=AO′, ∠BAO＝∠DAO′，AB=AD，

∴△ABO≌△ADO′（SAS），

∴DO′＝BO＝√3，∴OO′ O′D≥OD，

当O、O′、D三点共线时，取"＝"，

此时，OD的最大值为3√2 √3．故答案为：3√2 √3．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

例4．如图，点O为原点，⊙O的半径为1，点A的坐标为（2，0），动点B在⊙O上，以AB为边作等边△ABC（顺时针），则线段OC的最小值为_______ ．

【分析】连接OB，以OB为边作等边△BOE，根据等边三角形的性质可得BC＝AB，OB＝BE，∠ABC＝∠EBO＝60°，可得∠CBO＝∠EBA，根据"SAS"可证△BCO≌△BAE，可得OC＝AE，根据三角形的三边关系可得OC的最小值．

【解答】如图：连接OB，以OB为边作等边△BOE，

∵△ABC，△BOE都是等边三角形，

∴BC＝AB，OB＝BE，∠ABC＝∠EBO＝60°，

∴∠CBO＝∠EBA，且BC＝AB，BE＝BO，

∴△BCO≌△BAE（SAS）,∴OC＝AE，

在△AOE中，AE≥OE AO，

∴当点E在线段AO时，AE的最小值为1，

∴OC的最小值为1，故答案为：1

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

招数3：构造辅助圆转化求最值

例5．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4√2，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM．上运动，连接BP交△APC外接圆于D，则AD的最小值为______ ．

【分析】如图，连接CD．首先证明∠BDC＝135°，由此推出点D在以O为圆心，OB为半径的弧BC上运动（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，OB＝OC＝4），连接OA交弧BC于D′，此时AD′的值最小．

【解答】如图，连接CD．

∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝45°，

∴∠CDP＝∠CAP＝45°，∴∠BDC＝135°，

∴点D在以O为圆心，OB为半径的弧BC上运动（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，OB＝OC＝4），连接OA交弧BC于D′，此时AD′的值最小．

∵∠ACB＝45°，∠BCO＝45°，

∴∠ACO＝90°，∴由勾股定理得OA＝5，

∴AD′＝OA﹣OD′＝5﹣4＝1，∴AD的最小值为1．故答案为1．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

例6．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）

A．1/2B．√2/2C．√3/2D．√3/4

【分析】连结OA、OB，如图1，由OA＝OB＝AB＝1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得∠APB＝1/2∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C＝60°，因为AB＝1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB＝60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．

【解答】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，

∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝1/2∠AOB＝30°，

∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，

∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，

∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，

如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为√3/4AB²＝√3/4，∴△ABC的最大面积为√3/4．故选：D．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．

招数4：活用直线与圆特殊位置关系求最值

例7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（ ）

A．√7 B．2√2 C．3 D．4

【分析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ²＝CP²﹣CQ²，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．

【解答】当PC⊥AB时，PQ的长最短．在直角△ABC中，由勾股定理得AB＝4√2，PC＝1/2AB＝2√2．

∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，即∠CQP＝90°，

∴由勾股定理得PQ＝√7．故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．

例8.如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为______ ．

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD＝BD＝1，即此时圆的直径为1，再根据圆周角定理可得到∠EOH＝60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出EH＝√3/4，然后根据垂径定理即可得到EF＝2EH＝√3/2．

【解答】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝√2，

∴AD＝BD＝1，即此时圆的直径为1，

∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，

而∠EOH＝∠FOH，∴∠EOH＝60°，

在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1/2•sin60°＝√3/4，

∵OH⊥EF，∴EH＝FH，∴EF＝2EH＝√3/2，

即线段EF长度的最小值为√3/2．故答案为√3/2．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形．

综上所述，与圆有个最值问题多为在存在动点或者不确定的位置关系的情况下求最值，最终可化归两种解题思路，一个是通过几何图形的性质实现对位置的确定，另一个是通过数量关系实现最值问题的解答.主要用到性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;②两点间线段最短;③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短;④定圆中的所有弦中，直径最长。需要配套练习可私信与我。

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