圆锥曲线双曲线定义解析（圆锥曲线系列讲义之24等轴双曲线）

实轴和虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，也称等边直角双曲线、直角双曲线（因为两渐近线夹角为直角），是最有趣的一类特殊双曲线，因为它经过旋转可以变成反比例函数y=k/x,这也和上节双曲线的性质5相印证。

关于等轴双曲线内接三角形的问题一般都比较容易计算，当然也有一些相对较难的问题，本公众号前面的几篇文章就是相关的问题(《2020年高联一试11题的七种解法》，《单墫老师的等轴双曲线共圆问题》，《蝴蝶定理之十二》等)。

本篇专门介绍等轴双曲线的一些常见性质。为了方便计算，这里等轴双曲线都用y=k/x。

对于反比例函数E：y=k/x，A、B、C是其上三点，A'B'C'分别为BC,AC,AB中点，H为△ABC垂心，△ABC外接圆与E的第四个交点为D。

1 求H的轨迹

2 若BA⊥AC,则过A的切线AT和BC有什么位置关系？

3 H，D什么关系？

4 以H为圆心HD为半径的圆交E于XYZ，判断△XYZ形状并证明。

5 若AC为圆的直径，判断B、D的关系并证明。

6 △A'B'C'外接圆是否恒过定点。

7过△ABC边与x轴交点做此边垂线，三条垂线是否共点？

8 E上任取两点M、N，∠MHN,∠MDN有什么关系？

9 A关于O对称的为Z，E上任取点M，∠AMD,∠ZMH有什么关系？

设坐标为A(a,k/a),B(b,k/b),C(c,k/c),H(x,y),

1 求H的轨迹

由坐标显然H在E上，故H的轨迹为E。

注：

此性质巧夺天工，一般称为布利安香—彭色列定理，是等轴双曲线内接三角形最神奇也是最核心的性质。

2 若BA⊥AC,则过A的切线AT和BC有什么位置关系？

不难发现AT⊥BC。

思路一：

求出AT斜率，由直角得到数量关系式，然后说明AT⊥BC。

证明一：

思路二：

利用1中结论，结合切线定义即得。

证明二：

由1知任意△ABC垂心H也在E上且AH⊥BC。

当H和A无限接近时，BA⊥AC且AH变为E在A处的切线，

从而得到AT⊥BC.

注：

本结论也很优雅。上述两种思路殊途同归，都用到了切线的最原始的定义。当然比较而言，思路二更自然，更本质。也说明本题其实是上题结论的推论。

3 H，D什么关系？

思路分析：

不难猜测H和D关于原点对称。最自然的思路求出ABC外接圆方程，然后和E联立，解出D点坐标，最后说明H和D关于原点对称。但是这样做起来比较麻烦，计算量很大。所以最好想其他相对简洁的证法。

思路一：

退而求其次的方法是同一法：求出H关于原点的对称点H’,然后利用到角公式说明∠BAC=

∠BH’C,即得D,H’重合。从而得证。

证明一：

思路二：可以设出外接圆方程，和E联立消去y，利用四次方程的韦达定理即可得到D点坐标。从而得证。

注：

(1)本结论也是美不胜收、深刻隽永。证明却颇为不易，直接求出圆的方程，联立解出D，思路自然，却很难完成。上述思路一用同一法曲径通幽、可圈可点。思路二以退为进，联立得到四次方程，利用四次方程韦达定理一语中的、直击肯綮，只是要知道n此方程的韦达定理，超出了高考范围，算是竞赛的内容了。当然此题应该还有其他的解法，有兴趣的读者可以探讨。

(2)本结论可以等价叙述为，若某圆与E交于ABCD四点，则D关于原点的对称点为△ABC垂心，当然对称的，ABC每一个点关于原点的对称点也是另三点构成的三角形的垂心。由此还能得到圆内接四点，每三点构成的三角形的垂心得到的四边形和原四边形对称，对称中心即为原点O。此时O一般称为圆内接四边形的欧拉-彭色列点，此点有丰富而有趣的性质。我在前面文章（《单墫老师的等轴双曲线共圆问题》）中提到过，有兴趣的读者可以参考。

4 以H为圆心HD为半径的圆交E于XYZ，判断△XYZ形状并证明。

思路分析：

不难想象△XYZ为正三角形。只需证明其某两个心重合即可，结合上题即得证。

证明：

依题意HX=HY=HZ,故H为△XYZ外心，再结合上题知H为△XYZ垂心，

故2∠X=180°-∠X,则∠X=60°，同理∠Y=60°，故△XYZ为正三角形。

注：

本题也可以不直接用上题结论，类似上题解法2利用四次方程韦达定理解决。当然本题只需证明△XYZ某两个心重合即可，也可以证明外心和重心重合等。

5 若AC为圆的直径，判断B、D的关系并证明。

解：B,D关于原点对称。

若AC为圆的直径，则∠ABC=90°，从而B、H重合，由第3题知H,D关于原点对称。故B,D关于原点对称。

6 A'B'C'外接圆是否恒过定点。

思路分析：

不难想象△A'B'C'外接圆恒过原点O，只需利用到角公式证明∠OC’A=∠PB’A’即可，

解：

注：

(1)本结论也美不胜收，熟悉平面几何的读者知道其实这个圆就是大名鼎鼎的九点圆，令H、G、O为△ABC垂心、重心、外心。此圆还经过△ABC三条高线的垂足及AH、BH、CH的中点，故名九点圆。此圆圆心为OH中点且九点圆和外接圆的内外位似中心为H,G，位似比为0.5。这样一来，利用本题前面的结论2就“显而易见”了：由本结论知O在九点圆上，从而O关于H的位似点D在△ABC的外接圆上。

(2)利用本结论，还能得到任意四点中每三点构成的三角形的九点圆（共四个）共点于欧拉彭色列点。

7 过△ABC边与x轴交点做此边垂线，三条垂线是否共点？

解：

注：熟悉平面几何的读者知道，此结论即为西姆松定理逆定理，由西姆松定理知J在ABC外接圆上。由坐标还可得到JD//x轴。

即∠MHN ∠MDN=180°，

这是通过倒角公式得到的，是有方向的，但是因为这我们平常所说的角有区别，所以有时候两个角是可以相等的。

综上∠MHN,∠MDN相等或互补。

同上∠MHN,∠MDN相等或互补。

思路二：利用上题结论

解：如图，由上题知∠MAH=∠MZH,∠MHZ=180°-∠MDZ=180°-∠MSH=∠MSA,

∴∠AMD=∠ZMH,同理可得其余，故∠MHN,∠MDN相等或互补。

注：

本题结论即为对平行四边形对边张角相等的点的轨迹为上述等轴双曲线。

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