圆切线定理16个推论 圆中的基础定理

初中数学 专注初中数学解析

目录：

1. 切线判定定理介绍（附书本例题及习题）；
2. 反证法证明：切线的性质定理；
3. 切线长定理（附书本例题）；
4. 补充定理：弦切角定理；
5. 弦切角的基本图介绍；

探讨了圆内部的弦与弦之间的数量和位置关系，再来探讨圆外的切线和圆内的弦、圆外的切线与切线之间的关系。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

简单地说，就是：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径。

2道书本习题：

例1 如下图1，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线。

分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所做的垂线段OJ是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD。

证明：如上图2，过O点作OE⊥AC，垂足为E，连接OD、OA，

∵ ⊙O与AB相切于D，

∴ OD⊥AB，

又 △ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴ AO是∠BAC的角平分线，

∴ OE=OD，即OE是⊙O的半径 ，

这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，

所以AC与⊙O相切。

【温馨提示】这是从书本上抄录过来的，建议同学回归课本，注意对基础定理的准确理解以及准确应用。

例2: 如下图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，

求证：直线AB是⊙O的切线。

【解析】题目明确说明了C是直线AB与圆的交点，连接OC则可知OC是半径，只需证明OC⊥AB即可，

∵OA=OB，C为AB中点，

∴OC⊥AB，且OC=半径，

则直线AB是⊙O的切线。

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切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

书本上特意强调用反证法来证明。

反证法其实对学生的要求比较高，一定要通过书本的基本定理去找矛盾点。

已知：直线l与圆O相切于A，

求证：OA⊥l

证明(反证法):假设OA与l不垂直,作OB⊥l于B， 则：OB＜OA（直角三角形中,直角边小于斜边） ∴点D在圆O内部,则直线AB与圆O相交. 这与已知条件"直线AB与圆O相切相矛盾!故假设不成立. 所以,OC⊥AB.

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切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

写成条件和结论的形式便是：

如图所示，已知PA、PB为⊙O的切线，则①PA=PB；②∠1=∠2；

书本上没说：PO垂直平分AB，因此这个不能直接使用。

弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

已知：PB是⊙O的切线，BC为弦，连接PC与圆交于点A。

求证：∠1=∠2

如上右图所示，利用同弧所对的圆周角相等，构造过斜边为直径的RT三角形。

延长BO交⊙O于点A'，连接A'C，

则∠2=∠A'。

在RT△BCA'中，∠A' ∠3=90°；

OB⊥AB，得∠1 ∠3=90°；

则∠1=∠A'=∠2.

同样的，如果知道∠1=∠2，也可证明PB是⊙O的切线。

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弦切角模型：

如图所示，PB是⊙O的切线，切点是B，PA是割线，求证：∠1=∠2；

如图所示，连接BO并延长交圆于点A’，根据同弧所对的圆周角相等，得∠2=∠A；

由PB是圆的切线可得OB⊥PB，则∠1 ∠CBA’=90°；

由直径所对的圆周角90°得∠A’ ∠CBA’=90°；

则∠1=∠A’=∠2；

【弦切角的举一反三】：

如图所示，P是圆外一点，B是圆上一点，BC是圆内的弦，连接并延长PC与圆交于另一点A，若∠1=∠2，求证：PB是圆的切线。

【涛哥解析】如下图所示，连接BO并延长交圆于点A’，

根据同弧所对的圆周角相等，得∠2=∠A’；

由直径所对的圆周角90°得∠A’ ∠CBA’=90°；

则∠1=∠A’=∠2；∠1 ∠CBA’=90°，

则PB是圆的切线。

【示例1】如图，△ABC中，AB=AC，线段AC的垂直平分线l交BC于D点，过A、B、D三点的⊙O交直线l于E点，求证：AC是⊙O的切线。

【涛哥解析】如图所示，只需从条件中导出∠1=∠3即可。

由对称可得：∠1=∠2，由AB=AC可得：∠2=∠3，

由同弧AD所对的圆周角相等可得：∠3=∠4，

则∠1=∠2=∠3=∠4（只需∠1=∠3既可以），

后面的按照弦切角的反证去写就可以了。

【示例2】如图，直线CD⊥弦AB，∠1=∠2，求证：PA为⊙O的切线。

【涛哥解析】利用弦切角的知识证明切线，只需要证明∠1=∠3即可。

OE⊥AB可得：弧AC＝弧BC，则∠2=∠3，又∠1=∠2，则∠2=∠3.

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