浮点数精度问题（比特与信息在计算机中的表示及补码和浮点数的IEEE）

比特（bit，binary digit的缩写）中文翻译为“二进位数字”、“二进位” 或简称为 “位”，我来为大家科普一下关于浮点数精度问题?以下内容希望对你有帮助!

浮点数精度问题

1 什么是比特？

比特（bit，binary digit的缩写）中文翻译为“二进位数字”、“二进位” 或简称为 “位”。

比特只有 2 种取值：0和1，一般无大小之分。

如同DNA是人体组织的最小单位、原子是物质的最小组成单位一样，比特是组成数字信息的最小单位。

数值、文字、符号、图像、声音、命令······都可以使用比特来表示。

2 比特的三种基本逻辑运算

比特的取值“0”和“1” 可表示两种不同的状态（例如电位的高/低、开关的断开/接通）。

比特的运算使用逻辑代数，它有3种基本逻辑运算：

逻辑加（也称“或”运算，用符号“OR”、“∨”或“＋”表示）。

逻辑乘（也称“与”运算，用符号“AND”、 “∧”或“ · ”表示，也可省略）。

取反（也称“非”运算，用符号“NOT”或上横杠“¯”表示）。

两个多位的二进制信息进行逻辑运算时，按位独立进行，即每一位都不受其它位的影响：

例1

A:0110 ∨ B:1010 F: 1110

例2

A: 0110∧ B: 1010 F: 0010

3 比特在计算机中如何表示？

表示一个比特需要使用两个状态：

电路的高电平状态或低电平状态(CPU)

电容的充电状态或放电状态(RAM)

两种不同的磁化状态(磁盘)

光盘面上的凹凸状态(光盘)

···

4 比特的存储

存储(记忆)1个比特需要使用具有两种稳定状态的元器件，例如：开关、灯泡等。

4.1 比特在CPU中的存储

在计算机的CPU中，比特使用一种称为“触发器”的双稳态电路来存储。

触发器有两个状态，可分别用来记忆0和1，1个触发器可存储1个比特。

一组（例如8个或16个）触发器可以存储1组比特，称为“寄存器”。

CPU中有几十个甚至上百个寄存器。

断电后信息不再保持、为易失性存储器！

4.2 比特在内存中的存储

计算机存储器中用电容器存储二进位信息：当电容的两极被加上电压，它就被充电，电压去掉后，充电状态仍可保持一段时间，因而1个电容可用来存储1个比特。

电容C处于充电状态时，表示1

电容C处于放电状态时，表示0

集成电路技术可以在半导体芯片上制作出以亿计的微型电容器，从而构成了可存储大量二进位信息的半导体存储器芯片。

断电后信息不再保持！

4.3 比特在外存储器中的存储

磁盘：利用磁介质表面区域的磁化状态来存储二进位信息。

光盘：只读光盘通过“刻”在光盘片表面上的微小凹坑来记录二进位信息。

断电后信息可以保持、为非易失性存储器！

5 存储容量的计量单位

8个比特＝1个字节（byte，用大写B表示）

计算机内存储器容量的计量单位：

KB: 1 KB=2^10字节=1024 B （千字节） MB: 1 MB=2^20字节=1024 KB（兆字节） GB: 1 GB=2^30字节=1024 MB（吉字节、千兆字节） TB: 1 TB=2^40字节=1024 GB（太字节、兆兆字节）

外存储器容量经常使用10的幂次来计算：

1MB＝10^3 KB ＝1 000 KB 1GB＝10^6 KB ＝1 000 000 KB 1TB＝ 10^9 KB = 1 000 000 000 KB

不同进位制前缀的使用场合:

内存、cache、半导体存储器芯片的容量均使用二进制前缀：

512MB的内存条（ 1M＝2^20 ）

256KB 的cache（1K＝ 2^10 ）

文件和文件夹的大小使用二进制前缀。

频率、传输速率等使用十进制前缀：

主频 1GHz（1G＝10^9）

传输速率 100Mbps（1M＝10有^6）

外存储器（硬盘、DVD光盘、U盘、存储卡等）容量：

厂商标注的容量使用十进制前缀。

操作系统显示的容量使用二进制前缀。

6 比特的传输

信息是可以传输的，信息只有通过传输和交流才能发挥它的作用。

在数字通信技术中，信息的传输是通过比特的传输来实现的。

近距离传输时：直接将用于表示“0/1”的电信号或光信号进行传输（称为基带传输），例如：

计算机读出或者写入移动硬盘中的文件。

使用打印机打印某个文档的内容。

远距离传输或者无线传输时：需要使用调制技术。

比特的传输速率：

传输速率表示每秒钟可传输的二进位数目，常用单位是：

比特/秒(b/s)，也称“bps”。如 2400 bps(2400b/s) 千比特/秒(kb/s)，1kb/s=103比特／秒=1 000 b/s 兆比特/秒(Mb/s)，1Mb/s=106比特／秒=1 000 kb/s 吉比特/秒(Gb/s)，1Gb/s=109比特／秒=1 000 Mb/s 太比特/秒(Tb/s)，1Tb/s=1012比特／秒=1 000 Gb/s

8 不同进位制数的表示和含义

“数”是一种信息，它有大小（数值），可以进行四则运算。

“数”有不同的表示方法。日常生活中人们使用的是十进制数，但计算机使用的是二进制数，程序员还使用八进制和十六进制数，它们怎样表示？其数值如何计算？

8.1 十进制数

每一位可使用十个不同数字表示（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）。

低位与高位的关系是：逢10进1。

各位的权值是10的整数次幂（基数是10 ）。

标志： 尾部加“D”或缺省。

例：

204.96=2×10^2＋0×10^1＋4×10^0＋9×10^－1＋6×10^－2

8.2 二进制数

每一位使用两个不同数字表示（0、1），即每一位使用 1 个“比特”表示。

低位与高位的关系是：逢2进1。

各位的权值是 2 的整数次幂（基数是2 ）。

标志： 尾部加B

例：

101.01 B =1×2^2＋0×2^1＋1×2^0 ＋0×2^－1＋1×2^－2 ＝5.25

8.3 十六进制数

用十六进制数来表示二进制数，相当于二进制数来说，更直观，因为4个二进制位可以用1个十六进制位来表示，因为二进制的1111等于十进制的15，也就是十六进制的F。十进制与二进制的位数对位没有十六进制方便，一位十进制相当于约3.2位二进制。

每一位使用十六个数字和符号表示（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F ）。

逢16进1, 基数为16。

各位的权值是16的整数次幂（基数是16 ）。

标志：尾部加H。

例：

F5.4H=15×16^1 5×16^0 4×16^－1 = 245.25

8.4 八进制数

一位八进制数可以表示三位二进制数，因为二进制的111也就是八进制的7。

每一位使用八个不同数字表示（0、1、2、3、4、5、6、7）。

低位与高位的关系是：逢8进1。

各位的权值是8的整数次幂（基数是8 ）。

标志：尾部加Q。

例：

365.2Q = 3×8^2 6×8^1 5×8^0 2×8^－1 = 245.25

9 不同进制数的相互转换

熟练掌握不同进制数相互之间的转换，在编写程序和设计数字逻辑电路时很有用。

只要学会二进制数与十进制数之间的转换，与八进制、十六进制数的转换就不在话下了。

9.1 十进制数→二进制数

转换方法：

整数和小数分开转换。

整数部分：除以2逆序取余

小数部分：乘以2顺序取整

例如：29.6875→ 11101.1011 B

注意：十进制小数（如0.63）在转换时会出现二进制无穷小数，这时只能取近似值。

9.2 二进制数→十进制数

转换方法：

二进制数的每一位乘以其相应的权值，然后累加即可得到它的十进制数值。

例： 11101.1011B

= 1×2^4＋1×2^3＋1×2^2＋0×2^1＋1×2^0

＋1×2^－1＋0×2^－2＋1×2^－3＋1×2^－4

= 29.6875

9.3 八进制数与二进制数的互换

八进制→二进制：把每个八进制数字改写成等值的3位二进制数，且保持高低位的次序不变。

例： 2467.32Q → 010 100 110 111 . 011 010 B

二进制→八进制：整数部分从低位向高位每3位用一个等值的八进制数来替换，不足3位时在高位补0凑满3位；小数部分从高位向低位每3位用一个等值八进制数来替换，不足3位时在低位补0凑满三位。

例： 1 101 001 110.110 01 B → 001 101 001 110.110 010 B

→ 1516.62 Q

9.4 十六进制数与二进制数的互换

转换方法：与八、二进制互换的方法类似。

例1：35A2.CFH → 11 0101 1010 0010.1100 1111B

例2：11 0100 1110.1100 11B → 34E.CCH

10 PC机中数的主要类型

都采用二进制表示，有不同类型和不同长度。

不同类型和不同长度的数各有不同的用途。

10.1 无符号整数的表示

10.2 有符号整数的表示

负数的绝对值如何用补码表示？

先表示为自然码。

将自然码的每一位取反码。

在最低位加“1”。

如4个位的补码方案可以表示的数据范围：

10.3 原码和补码的优缺点分析

原码表示法：

优点：与日常使用的十进制表示方法一致，简单直观。

缺点：加法与减法运算规则不统一，增加了成本；整数0 有“00000000”和“10000000”两种表示形式，不方便。

补码表示法：

优点：加法与减法运算规则统一， 没有“-0”,可表示的数比原码多一个(-2n-1)。

缺点：不直观，人使用不方便。

10.4 原码和补码可表示的整数范围

原码可表示的整数范围：

8位原码： - 27 1～27- 1（- 127～127）

16位原码： - 215 1～215- 1（- 32767～32767）

n 位原码： - 2n-1 1～2n-1- 1

补码可表示的整数范围：

8位补码：- 27～27- 1 （- 128～127 )

n位补码：- 2n-1～2n-1- 1

- 128表示为 10000000

127 表示为 01111111

10.5 整数在计算机中的表示的对比

计算机中整数有多种，同一个二进制代码表示不同类型的整数时，其含义（数值）可能不同。

一个代码它到底代表哪种整数（或其它东西），是由指令决定的。

10.6 实数的特点与表示方法

实数是既有整数部分又有小数部分，小数点位置不固定。

任何一个实数总可以表达成一个乘幂和一个纯小数之积。

例如：

56.725 = 0.56725×10^2

－0.0034756 = -0.34756×10^-2

实数的表示方法（记阶法/浮点表示法）：用3个部分表示：

乘幂中的指数(也称阶码)：表示实数中小数点的位置。

纯小数部分(尾数)：表示实数中的有效数字部分。

数的正负(符号)。

二进制实数的浮点表示：

与十进制实数一样，二进制实数也可以用记阶法表示，如：

1001.011B = 0.1001011B×2^ 100

－0.0010101B = －0.10101B×2^－10

可见，任一个二进制实数 N 均可表示为：

N=±S×2P

（其中， ±是该数的符号； S是N 的尾数；P是N的阶码）

因此，32位的单精度浮点数在计算机中可表示为：

由于指数（阶码）可以选用不同的编码（原码、补码等），尾数的格式和小数点位置也可以有不同的规定，因此早期计算机中浮点数的表示方法互不相同。

现代计算机中，一般都以IEEE 754标准存储浮点数，这个标准的在内存中存储的形式为：

对于不同长度的浮点数，阶码与小数位分配的数量不一样，如对于32位的单精度浮点数，数符分配是1位，阶码分配了8位，尾数分配了是23位：

符号位：0表示正；1表示负；

偏移阶码e：e=指数的实际值 127。

假有一个浮点数10110010.001，则指数是7，阶码就要用7 127的二进制数表示，也就是：111 01111111 = 10000110

尾数使用原码表示，绝对值在1与2之间，其中1和小数点都是隐含的，并不直接表示。

根据这个标准，我们来尝试把一个十进制的浮点数转换为IEEE754标准表示。

例如：178.125

先把浮点数分别把整数部分和小数部分转换成2进制：

整数部分用除2取余的方法，求得：10110010

小数部分用乘2取整的方法，求得：001

合起来即是：10110010.001

转换成二进制的浮点数，即把小数点移动到整数位只有1，即为：1.0110010001 * 2^111，111是二进制，由于左移了7位，所以是111

把浮点数转换二进制后，这里基本已经可以得出对应3部分的值了：

数符：由于浮点数是正数，故为0(负数为1)。

阶码 : 阶码的计算公式：阶数 偏移量, 阶码是需要作移码运算，在转换出来的二进制数里，阶数是111(十进制为7)，对于单精度的浮点数，偏移值为01111111(127)[偏移量的计算是：2^(e-1)-1, e为阶码的位数，即为8，因此偏移值是127]，即：111 01111111 = 10000110

尾数：小数点后面的数，即0110010001

最终根据位置填到对位的位置上：

可能有个疑问：小数点前面的1去哪里了？由于尾数部分是规格化表示的，最高位总是“1”，所以这是直接隐藏掉，同时也节省了1个位出来存储小数，提高精度。

浮点数的二进制显示可以使用以下代码：

#include<iostream> #include <bitset> //STL的bitset模板类 using namespace std; void main() { union { float input; int output; } data; data.input = 178.125; std::bitset<sizeof(float) * 8>bits2(data.output); //bitset模板类定义对象，<>内为长度，()为值 //如bitset<8> bitset2(12); //长度为８，二进制保存，前面用０补充 std::cout << bits2 << std::endl; system("pause"); } //01000011001100100010000000000000

－End－