数学小难题作品推广（帮小青蛙设计一个井）

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

帮小青蛙设计一个井

作者 : 管杰旭

作品编号：029

1. 问题介绍

1.1问题背景

在对于寓言故事中的数学内涵探索中，“井底之蛙”的故事引起了我们的注意。可怜的小青蛙只想待在井底，既然不能让他看看外面的世界，索性帮助他有一个更良好的井底居住环境吧。问题由此产生。

1.2问题条件

帮小青蛙建的新水井，必须满足以下要求：

（1）水井要像一个井。井口太窄，井太浅或井壁倾斜角度过大都不是一个水井应有的样子。

（2）水井施工作业量要尽量小。

（3）水井安全程度要尽量高。

（4）水井总可视天面积要尽量大。

（5）水井单点可视天面积要尽量大。

2. 问题研究

2.1模型构建

（图1）

如图1所示，我们将水井的形状简化为圆台的形状。圆台是由直角梯形绕轴旋转360°而成，因此，圆台具有高度的对称性。

（图2）

如图2所示，我们可以得出：

(1) 圆台QW的构成为圆锥QV截去圆锥WV。因为在圆锥WV内及上的任意一点，对于圆台水井QW底都可以一览无余，在遇到会飞的天敌出现在区域中时，井底的小青蛙将无处可藏。因此，我们将圆锥WV定义为水井的不安全位置。

(2) 圆O的面积为小青蛙在井底能看到平面的所有区域。我们定义圆O为小青蛙的可视天区域。圆P为小青蛙在井底任意一点M上能看到平面的区域。我们定义圆P为小青蛙的单点可视天区域。

(3) 圆W所在为平面定义为地平面（为地平面上一直线）。直线所在平面与圆W所在平面平行，代表天空。（其中，与均与点M共面）

由于圆锥DEK和圆台LMDE同样具有高度的对称性，圆的面积也由其直径决定，因此在这里，我们用过点M的平面去截整个水井模型，通过取其截面，将三维的体积问题转化为二维的面积问题进行研究。

（图3）

如图3，我们将图2进行转化。

（1）因为注意到圆台的轴截面形状，我们将水井视为等腰梯形ABCD，BC边与AD边即井壁。

（2）BC的延长线与AD的延长线交于点P，圆锥WV的截面即为水井的不安全区域。则为二维水井模型的不安全面积。

（3）小青蛙的任务是在地上挖井，我们用圆台QW的截面ABCD来衡量水井的体积。即为水井施工量，小青蛙要挖走这么多的土。

（4）定义直线AC与直线BD同直线l 的交点E、F的距离即原圆O的直径为小青蛙可视天总面积（用直径长度衡量）。现在，M是线段CD上任意一点，直线MB、直线MA与直线l的交点G、H的距离为小青蛙单点可视天面积。

2.2问题提出

小青蛙想修建一种水井，水井的开口（AB）为1，下底CD的长度不小于1，不大于2（这样的水井井口不会太窄；井底当然也可以更宽，这里先取到2进行初步研究）。已知水井的高度为,水井的高度大于15米，天（直线l）到井底CD的距离为。

2.2.1问题分析

如图4建立平面直角坐标系：

（图4）

AB=1,可知：

;

A(1,);

B(0,);

C(,0);

D(1-,0);

不妨设

不难发现，自定义考虑的三个量是随着的变化而变化的，可以看作是的函数。下面就四个自定义考虑点进行变化趋势的分析：

（1）水井不安全面积（即）与的关系：

BC:，

AD:；

联立得方程组，得点P得坐标为

则，即水井不安全面积为.

（2）水井施工工作量（即）与得关系：即等腰梯形ABCD的面积。.

（3）水井可视天的总面积（即Wide）与的关系：

即：

（4）水井单点可视天面积：因为相似三角形的知识，在问题一的模型中，水井单点可视天面积为定值，在此不予以考虑。综合以上分析可得：

；

；

其中. 取特殊值，绘制函数图像如图5。

（图5）

接下来，则需要小青蛙做出选择，它可对三个因素进行比较分析（赋权），选取更重要的因素进行水井设计。

2.2.2相关结论

(1)单因素考虑：

①当水井不安全程度或水井可视天总面积（Wide）最重要时，越大越好。

②当水井施工作业量最重要时，越小越好。

（2）双因素考虑：

①当考虑与Wide时，取=-0.5时最合适。

②当考虑与时，因为函数增长率不断增大而函数的倾斜程度相对较小，所以可以考虑两函数的交点P的取值。交点往右看时，函数下降的不多，而函数持续加速上升，自然不行；交点往左看时，函数下降的和函数上升的都不多，往左取值有得不偿失的感觉。可得出结论。

③当考虑与Wide时，因为当=0时Wide函数值不算太低（远远大于），在取值范围内时函数变化不大，因此时在取值范围内取任意值都应不成问题。

2.3 对小青蛙对三个因素赋权的建议

问题一中，的最小值是-0.5，相关结论已研究清楚。

当在（-∞，0）之间内，在大范围之下，小青蛙应该怎样为三个因素赋权呢？

图6

如图6所示：

（1）无论多大，都不能有一个因素不参与考虑。

（2）当越大，函数的增长率越大。因此越大时，越需要对水井不安全程度进行考虑。当较大时，水井施工量及水井可视天面积都不需要太多考虑（与结论③相呼应），因此两函数的一段可以数值较小且重合。

（3）当越小，函数的增长率越小。因此越小时，越不需要对水井的不安全因素进行考虑。同时，在单点可视天面积不变的情况下，水井总视天面积太大也没有实际意义。在=0时Wide函数函数值不低的情况下，越小时，越不需要对水井的可视天总面积进行考虑。这里，我们便可以将较小时两函数的图像重合。

（4）当越小时，函数值越大，到最后其实只需对水井工作量进行考虑。因此我们可以令越小，水井工作量的权加速变大。

综上所述，可以绘制出三个因素的权随变化而变化的草图。这是我们对于小青蛙对三个因素赋权的建议，小青蛙可以如此考虑。

2.4引申问题

任性的小青蛙不接受帮助，任意建了一个符合问题要求的水井，请对小青蛙水井修建水平进行评估。

2.4.1问题分析

因为小青蛙是随意建井，所以我们认为在这里三个因素同等重要。为了体现水井施工作业量要尽量小，水井安全程度要尽量高，水井可视总天面积要尽量大的原则，可建立函数

分析得当-0.5≤≤0时，函数f单调递减。可见在三个因素同等重要的情况下，水井的水平随的变大而降低，因此我们可以通过（，0）到原点的距离（函数g()）来衡量任性小青蛙随意建造的水井的相对水平。

2.4.2 问题结论

有

2.5 误差分析

对于函数，其不总是以反比例函数的方式增长。当点P落在直线上，即

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