卡西欧多项式方程（欧拉眼中的多项式方程）

欧拉在数学领域做出过很多贡献，今天我们来讲讲他在无穷级数上的一些贡献，本文作者希望通过符合逻辑的阐述还原欧拉在无穷级数领域所做的一个贡献的推导思路，因为在作者看来这样的思路是比较容易让人接受的。

欧拉在研究f（x）=sinx这样的函数时发现，可以通过泰勒展开sinx写成如下的形式：

欧拉之前研究过幂级数，对于如下所示的幂级数的形式非常熟悉：

欧拉自然而然希望能够将正弦函数泰勒展开变成自己熟悉的形式, 于是他应该会做如下变换：

这样做是把之前正弦函数泰勒展开的形式转换成比较熟悉的形式。接下来欧拉认为，既然所有非零整数倍的π都是上图的零点，这样的话我们是不是可以将上述的函数写成如下的形式呢？

此时有的读者会问了，为什么不写成如下所示的形式呢：

这是因为欧拉希望让展开的形式的常数项为1，这是他比较熟悉的形式。而上图的常数项不为1，我们甚至都看不出上图公式展开的常数项为多少。

让我们继续观察上图所示的关系，我们不难发现我们可以将之变形为如下形式：

这时欧拉应该会用换元法将上述所得的结论转换为他更熟悉的幂级数的形式:

欧拉对于无穷级数的如下展开形式非常熟悉，他非常清楚括号内的y一次项系数的和是展开后一次项的系数：

于是欧拉得出了这样的结论：

虽然欧拉的推导并不是非常严格，但是他得到了前人未发现的有趣的结论，这个结论十分漂亮！ 欧拉对于数学的直觉让他在数学领域做出了非常多的建树，欧拉还拥有惊人的记忆力以及心算能力，在其晚年失明的情况下还能通过心算来继续数学研究， 通过听别人的报告的数学推导内容来指出内容中的错误。

关于欧拉你们还知道哪些他的故事呢？请评论出来吧 ！