24个常用的不定积分公式（不定积分复杂公式持续输出）

#创作挑战赛#

最近老黄一直在持续推导不定积分的复杂公式，这次推导的是反正弦和反余弦的幂的不定积分公式。

老黄在《老黄学高数》系列视频第254讲中推导了幂乘自然底数指数函数的不定积分公式：(1)∫x^n*e^(ax)dx=∑(i=0->n) (-1)^i*n!)/((n-i)!*a^(i 1))*x^(n-i)*e^(ax) C, a≠0；

第259讲又由公式(1)推导出实指数幂乘自然对数的正整数幂的不定积分公式：

(2)∫x^a*(lnx)^ndx=∑(i=0->n)(-1)^i*n!)/((n-i)!*(a 1)^(i 1))*x^(a 1)*(lnx)^(n-i) C, a≠0或-1；

而第255讲推导的幂乘余弦函数积分公式：

(3)∫x^n*cosaxdx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i 1))*x^(n-i)sin(ax iπ/2) C.

以及在第256讲推导的幂乘正弦函数积分公式：

(4)∫x^n*sinaxdx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i 1))x^(n-i)*cos(ax iπ/2) C.

能不能用来推导下面这两个不定积分的公式呢？

(5)∫(arccosax)^ndx=? (6)∫(arcsinax)^ndx=?

先求∫arccosnaxdx, n∈N*, a≠0.

解：记t=arccosax, 则x=1/a*cost, dx=-1/a*sintdt.

原积分=-1/a*∫t^n*sintdt=1/a*∑(i=0->)n!/((n-i)!)t^(n-i)*cos(t iπ/2) C【运用了公式(4)】

=1/a*∑(i=0->n)n!/((n-i)!)*(arccosax)^(n-i)*cos(arccosax iπ/2) C.

同理∫(arcsinax)^ndx=1/a*∑(i=0->)n!/((n-i)!)*(arcsinax)^(n-i)*sin(arcsinax iπ/2) C.

这样就推得了公式(5)和公式(6). 下面解两道例题试试：

例1：求∫(arccosx)^3dx.

解：a=1, n=3,

原积分=∑(i=0->3)3!/((3-i)!)*(arccosax)^(3-i)*cos(arccosx iπ/2) C

=x(arccosx)^3-3(arccosx)^2*√(1-x^2 )-6xarccosx 6√(1-x^2 ) C.

再看例2，不用公式是绝对求不出来的。

例2：求∫(arcsin7x)^77dx.

解：a=7, n=77,

原积分=1/7*∑(i=0->77)77!/((77-i)!)(arcsin7x)^77-ixsin(arcsin7x iπ/2) C. 【不需要展开】

最后是一道练习，和例1非常相似。

练习：求∫(arcsinx)^3dx.

反正弦或反余弦的幂的不定积分中，被积函数并不能乘以一般的幂函数，但却可以乘以x，它们的结果会是另外的两个积分公式。老黄会在下一篇作品中和大家分享。小伙伴们如果有追老黄的剧，现在应该也会自己推导了吧。