变力做功求时间方法：求解变力做功的几种常用方法

功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W＝Flcos α，但是只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。现结合例题分析变力做功的五种求解方法。

方法一：化变力为恒力求变力功

变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

【题目】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h，求绳的拉力T对物体所做的功。假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。

【解析】本题中，显然F与T的大小相等，且T在对物体做功的过程中，大小不变，但方向时刻在改变，因此本题是个变力做功的问题。但在题设条件下，人的拉力F对绳的端点(也即对滑轮机械)做的功就等于绳的拉力T(即滑轮机械)对物体做的功。而F的大小和方向都不变，因此只要计算恒力F对绳做的功就能解决问题。

设绳的拉力T对物体做的功为WT，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为

则可知拉力做功为

方法二：用平均力求变力功

在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F平均=（F1 F2）/2,恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W=F平均Lcosθ求此力所做的功。

【题目】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

【解析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为

钉子克服阻力做的功为

设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量

可知

方法三：用F－x图象求变力功

在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况。

【题目】放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其F－x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功。

【解析】由F－x图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即

方法四：微元法

将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题

【题目】如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为Ff，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

【解析】将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δx，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向

方法五：用动能定理求变力功

动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力功的首选

【题目】如图甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F的作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，求：(g＝10 m/s2)

(1)A与B间的距离；

(2)水平力F在前5 s内对物块做的功。

【解析】(1)A、B间的距离与物块在后2 s内的位移大小相等，在后2 s内物块在水平恒力作用下由B点匀加速运动到A点，由牛顿第二定律知F－μmg＝ma，代入数值得a＝2 m/s2，所以A与B间的距离为

x＝（1/2）at2＝4 m。

(2)前3 s内物块所受力F是变力，设整个过程中力F做的功为W，物块回到A点时速度为v

则有

由动能定理知

所以

以上就是我们常用的求解变力做功的几种方式

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