初二数学存在性问题类型 存在性系列之正方形存在性问题

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．

01

问题与方法

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

（1）2个定点 2个全动点；

（2）1个定点 2个半动点 1个全动点;

甚至可以有：（3）4个半动点．

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

总结：

构造三垂直全等的思路仅适合已知“两定两动”的情形，若有3个或4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．

引例随便看看

在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．

至于具体求点坐标，以C1为例，构造△AMB≌△C1NA，即可求得C1坐标．至于像C5、C6这两个点的坐标，不难发现，C5是AC3或BC1的中点，C6是BC2或AC4的中点．

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．

02

双动点类

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，却依然可以分“双动点”、“三动点”、“四动点”等不用类型问题．对于“两定两动”问题，通常构造等腰直角三角形求第3点．

2015毕节中考（删减）

【双动点：平面 平面】

如图，抛物线y=x² bx c与x轴交于A（-1，0），

B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）抛物线：y=x²-2x-3；

（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故构造以AB为斜边的等腰直角△APB，如下：

若四边形APBQ是正方形，易得P点坐标为（1，2）或（1，-2），

当P点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为y=-1/2（x-1）² 2 ；

当P点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为y=1/2（x-1）²-2 ．

综上所述，抛物线解析式为y=-1/2（x-1）² 2或y=1/2（x-1）²-2 ．

【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角形确定第3个点，再求得第4个点．

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2012通辽中考

【双动点：抛物线 抛物线】

如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y=ax²-ax-2经过点C．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．

【分析】

（1）C（3，1）；

（2）抛物线：y=1/2x²-1/2x-2；

（3）考虑A、B、P构成等腰直角三角形且∠B为直角，故可作出点P如下：

构造三垂直全等：△AMB≌△BNP，

即可求得P点坐标为（-1，-1），

将点P代入抛物线解析式，成立，

即点P在抛物线上．

根据点P构造点Q，

通过点的平移易得点Q坐标为（-2，1），

代入抛物线解析式，成立，即点Q也在抛物线上，

故存在，点P坐标为（-1，-1），点Q坐标为（-2，1）．

【小结】本题数据设计得巧妙，因为A、B为已知点，故由A、B可确定点P且恰好在抛物线上，由A、B、P确定的点D恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答案完全可以变成不存在．

03

三动点类

若出现四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分析还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解．

2017雅安中考

【三动点】已知矩形构造邻边相等

如图，已知抛物线y=x² bx c的图像经过点A（1，0），B（-3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．

（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，点N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

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2017枣庄中考（删减）

【三动点】已知对角线考虑对角线

如图，抛物线y=-1/2x² bx c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

思路总结

像这样的三动点问题，通常四边形的边或对角线总有一个与坐标轴平行，可采用邻边相等或对角线相等确定正方形．

若边与坐标轴平行，则对角线与x轴夹角为45°，反之亦成立，可求得对角线或边的解析式，联立方程求得点坐标，也不失为一种简便方法．

04

四动点类

当有4个动点时，其实思路与三动点无异，只是计算略难略难~

2018南充中考（删减）

【四动点】计算其实并不简单

如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都能解决问题．思路1中考虑M、N两个点均未知，设一点，求一点，再代入解析式求解．思路2中充分利用该四边形位置来求边长．

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