二次函数中的平行四边形有哪些(二次函数中平行四边形的存在性问题解析)

二次函数的图象二次函数解析式的三种形式,我来为大家科普一下关于二次函数中的平行四边形有哪些?以下内容希望对你有帮助!

二次函数中的平行四边形有哪些(二次函数中平行四边形的存在性问题解析)

二次函数中的平行四边形有哪些

二次函数的图象

二次函数解析式的三种形式

1、一般式:y = ax2 bx c ( a , b , c 为常数,a ≠ 0 );

2、顶点式:y = a( x - h )2 k ( a , b , c 为常数,a ≠ 0 );

3、两点式:y = a( x - x1 )( x - x2 )( a ≠ 0 ).

平行四边形的判定方法及性质

平行四边形

1、平行四边形的判定方法 

定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

定理 1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 

定理 2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

定理 3:对角线互相平分的四边形是平行四边形; 

定理 4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

2、平行四边形的性质

性质 1:平行四边形的邻角互补,对角相等; 

性质 2:平行四边形的对边平行且相等;

性质 3:平行四边形的对角线互相平分.

二次函数中平行四边形的存在性问题

二次函数中平行四边形的存在性问题

学习目标:

1、会用分类思想讨论平行四边形的存在问题;

2、会用数形结合的思想解决综合性问题.

重点:分类讨论平行四边形的存在性;

难点:数形结合思想及画图.

一、知识回顾(储备)

1、线段的中点坐标公式

线段的中点坐标公式

在平面直角坐标系中,有任意两点 A、B,若点 A 坐标为 (x1,y1),点 B 坐标为 (x2,y2),

则线段 AB 的中点 P 的坐标为 (( x1 x2 )/ 2 , ( x1 x2 )/ 2 ) .

2、知识拓展与应用:

思考:在平面直角坐标系中,□ABCD 的顶点坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),

已知其中 3 个顶点的坐标,如何确定第 4 个顶点的坐标 ?

引例:如图,已知 □ABCD 中 A (-2,2),B (-3,-1), C (3,1),则点 D 的坐标是 (4,4) .

利用中点公式分析: ( x1 x3 )/ 2 = ( x2 x4 )/ 2 , ( y1 y3 )/ 2 = ( y2 y4 )/ 2 .

结果化简可以化为 “ 对点法 ” 的形式 : x1 x3 = x2 x4 , y1 y3 = y2 y4 .

二、对点法( 数学方法 )

如图,在平面直角坐标系中,□ABCD 的顶点坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),

则这 4 个顶点坐标之间的关系是什么?

结论:x1 x3 = x2 x4 ,y1 y3 = y2 y4 .

平面直角坐标系中,平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等,纵坐标之和也相等.

三、典例学习( 三定一动 )

【例1】如图,在平面直角坐标系中,已知 A (-1,0),B (1,-2), C (3,1),点 D 是平面内一动点,

若以点 A 、B 、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形,则点 D 的坐标是 ______.

分析:设点 D(x,y),

① 点 A 与点 B 相对:

-1 1 = 3 x,0 - 2 = 1 y;x = -3,y= -3 ,此时 D2(-3,-3);

② 点 A 与点 C 相对:

-1 3 = 1 x,0 1 = -2 y;x = 1,y = 3,此时 D1(1,3);

③ 点 A 与点 D 相对:

-1 x = 1 3,0 y = -2 1;x = 5,y = -1,此时 D3(5,-1);

综上所述:点 D 的坐标是 (-3,-3),(1,3), (5,-1) .

说明:( 细节 )

若题中四边形 ABCD 是平行四边形,则点 D(1,3),与四个点为顶点的四边形是平行四边形不同.

四、问题解决

【例题2】已知,抛物线 y = - x2 x 2 与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交点为 C,点 M 是平面内一动点,若以点 M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出点 M 的坐标.

解析:( 三定一动 )

先求出 A( -1,0 ),B ( 2,0 ),C( 0,2 ),设点 M(x,y),

① 点 A 与点 B 相对:M3(1,-2);

② 点 A 与点 C 相对:M2(-3,2);

③ 点 A 与点 M 相对:M1(3,2);

综上所述:点 M 的坐标是 M1(3,2),M2(-3,2),M3(1,-2).

【例题3】如图,平面直角坐标中,y = - 0.25x2 x 与 x 轴相交于点 B (4,0),点 Q 在抛物线的对称轴上,点 P 在抛物线上,且以点 O、B、Q、D 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点 P 的坐标 .

解析:( 两定两动其中一点为半动点 )

已知 B (4,0),O(0,0),设 Q ( 2, a ),P ( m, -0.25m2 m ).

① 点 B 与点 O 相对:m = 2,a = -1;P1(2,1);

② 点 B 与点 Q 相对:m = 6,a = -3;P2(6,-3);

③ 点 B 与点 P 相对:m = -2,a = -3;P3(-2,-3);

综上所述:P1(2,1),P2(6,-3),P3(-2,-3).

【例题4】如图,平面直角坐标中,y = 0.5x2 x - 4 与 y 轴相交于点 B (0,-4),点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y = - x 上的动点,判断有几个位置能使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点 Q 的坐标.

解析:( 两定两动 )

已知 B (0,-4),O(0,0),设 P ( m, 0.5m2 m - 4 ),Q ( a, -a ).

① 点 B 与点 O 相对:a1 = 4 , a2 = 0 ( 舍 );

② 点 B 与点 P 相对:a = -2 ± 2√5 ;

③ 点 B 与点 Q 相对:a1 = - 4 , a2 = 0 ( 舍 );

综上所述:

Q1( -2 2√5 ,2 - 2√5 ),Q2(-2 - 2√5 ,2 2√5 ),Q3(-4,4), Q4( 4,-4 ).

五、总结

“ 对点法 ”,需要分三种情况,得出三个方程组求解,动点越多,优越性越突出!

从“几何” 的角度解决问题的方法,能够使问题直观呈现,问题较简单时,优越性较突出!

“数无形时不直观,形无数时难入微”,数形结合是一种好的解决问题的方法!

六、作业(略)。

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