一次函数与几何图形的综合考点（动点与特殊图形系列）

中考解答压轴（动点与相似或三角函数）

（2019•营口）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．

图1

（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．

（2）如图2，CP＝0.5BC，求AD/BC的值．

（3）在（2）的条件下，若MD＝(√13)/3，求线段AB的长．

图2

第一问

【图文解析】如下图示，∠AMP＝∠DMP－∠DMA＝60°－∠DMA＝∠MAC－∠DMA＝∠D（因∠MAC＝∠DMA ∠D），即∠AMP＝∠D．

第二问

（试题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．

图1

（2）如图2，CP＝0.5BC，求AD/BC的值．

【图文解析】过点C作CG∥AB交MP于点G，如下图示，根据平行线的性质，结合（1）的结论可得∠CGM＝∠D；易证∠PMD＝CMA，得∠CMG＝∠AMD；由已知，易证CM＝AM＝0.5AB．综上，根据AAS，可证△CMG≌△AMD，得CG＝AD．

由CG∥AB，得△PCG∽△PBM，得CG/BM＝PC/PB＝0.5BC/（0.5BC BC）=1/3．如下图示，设CG＝AD＝m，则BM＝3m，AB＝6m，在Rt△ABC中，∠B＝30°，得AC＝3m，由勾股定理，得BC＝3√3m，所以AD/BC＝m/(3√3m)=√3/9（注意含特殊角的直角三角形的常用结论）．

第三问

（2019•营口）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．

（3）在（2）的条件下，若MD＝(√13)/3，求线段AB的长．

图2

【图文解析】

法一：过点M作MN⊥AC于点N，结合（2），可得到如下图标注的结论．

根据勾股定理，得

解得m1=1/3，m2=-1/3(舍去)．

所以AB＝6m=2．

法二：如下图解（与法一本质相同）

法三：如下图示，

根据两角相等，得△MHA∽△DMH．

得MH/DH＝AH/MH．

得MH2＝AH•DH，

解得m1=1/3，m2=-1/3(舍去)．

所以AB＝6m=2．