极限存在性定理与两个重要的极限（极限理论的建立）

随着研究问题的深入与广泛，数学家们越来越感到建立严谨的极限理论的必要性，下面再给出两个困扰数学家的问题。

第一个问题，如何判断一个函数是否存在导数。

用现在的语言，一个函数在某一点不存在导数被称为这个函数在这一点不可导。对于分段函数，在断点是不可导的，不仅如此，对于连续函数也出现了这样的情况。对于

瞬时速度=dy/dx=lim(△t→0)[(f(t₀ △t)-f(t₀))/△t]

当△t趋于0时，t₀ △t从正方向趋于t₀。但是，瞬时速度应当是对称的，

由负方向趋于t₀时应当得到同样的结果，于是下面的定义也应当成立，即

瞬时速度=dy/dx=lim(△t→0)[(f(t₀)-f(t_0-△t))/△t]

这样就引发了问题：连续函数也可能是不可导的。比如，函数f(x)=|x|是一个连续函数，但在0点是不可导的，令t₀=0，那么由正方向(f(t₀ △t)-f(t₀))/△t=1；由负方向f(t₀)-f(t_0-△t))/△t=-1。更让数学家们感到震惊的是，德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出了一个处处连续但是处处不可导的例子，这个函数是

F(x)=∞∑(n=0)bⁿcos(aⁿπx)

其中a是奇数，b是取值于（0，1）满足ab>1 3π/2的常数。这就意味着，存在一条处处没有切线的连续曲线，这与人们的几何直观相悖。这时数学家意识到，完全凭借几何直观来分析问题是不够的，那么，应当如何来解释这些问题呢？

第二个问题，如何判断一个无穷级数是否收敛。

有时候，一个函数或者无理数可以由一些简单函数或者有理数的和的形式表示，当然，这个和可以是无穷，我们称这样的和为级数或者无穷级数。比如F(x)=∞∑(n=0)bⁿcos(aⁿ∏x)就是一个无穷级数，而二项式展开是我们熟知的级数，即

(x y)ⁿ=xⁿ a₁x^n-1y a₂x^n-2y² ... a_n-1xy^n-1 yⁿ

系数a₁,a₂,...，a_n-1被称为二项系数或者杨辉三角，即

a_k=n(n-1)...(n-k 1)/k!

其中k=1，...n-1，k!表示由1到k的整数连乘。很显然，可以对级数中的项进行逐项微分或积分，这样就可以把复杂问题化简。牛顿对于二项式展开的使用极为熟练，他利用一般形式的二项式展开和逐项积分，得到了描述三角函数的无穷级数：

Sinx=x-x³/3! x⁵/5!-x⁷/7! ... (-1)ⁿx^{2n 1}/(2n 1)! ...

Cosx=1-x²/2! x⁴/4!-x⁶/6! ... (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! ...

通过逐项微分容易知道，sinx的导数可以用cosx表示，cosx的导数可以由sinx表示，即

(sinx)’=cosx和（cosx）’=-sinx。利用这个结果可以得到反正切函数的导数，在利用微积分基本定理可以得到下面的结果：

arctanb-arctan0=∫^b₀[1/(1 x²)]dx

因为arctan0=0，当b=1时arctanb=π/4，于是从上式可以得到

π/4=∫¹₀[1/(1 x²)]dx

对于（1 x²）^-1用二项式展开的一般公式可以得到

1/(1 x²)=1-x² x⁴-x⁶ x⁸-x¹⁰ ...

我们已经知道(x^m)’=mx^m-1，由微积分基本定理，对上式逐项从0到1积分，再利用

π/4=∫¹₀[1/(1 x²)]dx 可以得到著名的用交错级数表示∏的公式

π/4=1/1-1/3 1/5-1/7 1/9-1/11 1/13-1/15 ...

这个公式是莱布尼茨写给牛顿的信中首次提到的，被人们称为莱布尼茨公式。问题越来越清晰了，上面的无穷级数表明：一个无理数可以用有理数的极限形式表示(1 x)^-1用二项式展开的一般公式可以得到

1/(1 x)=1-x x²-x³ x⁴-x⁵ ...

如果令x=1，通过上面的式子可以得到

1/2=1-1 1-1 1-1 ...=(1-1) (1-1) (1-1) ...=0

意大利数学家格兰迪在他1703年的小册子《圆与双曲线方程》中给出了上面的结果，并且认为自己证明了世界可以从无到有。真是不可思议，问题出在什么地方呢？

事实上，在17-18世纪，无穷级数的敛散性概念尚未进入数学家的视野。面对发散级数，他们犯了许许多多的错误。

虽然问题还有很多，但是受微积分的启发，人们认识到数学运算的方法，甚至数学的理论体系都是可以创造的，特别是微积分在自然科学，科学技术各个邻域的巧妙而广泛的应用，更激发了数学家们的创造性。在这之后的几个世纪，针对研究问题的背景不同，一些全新的数学分支逐渐发展起来，比如，无穷级数，常微分方程，偏微分方程，微分几何，变分数，复变函数；代数数论，解析数论，非欧几何等等。这些学科的产生对于推动数学本身的发展，对于利用数学更好地描述现实世界都起到了极为重要的作用。

另一方面，数学家们认为，必须认真地对待微积分，正如柏林科学院所说的，必须建立一个清晰的精确的理论来解释微积分的合理性。欧拉，拉格朗日，法国数学家达兰贝尔，柯西，魏尔斯特拉斯等人都做出了杰出的工作。

数学家们认识到，微积分只是一种计算方法，而要把理论基础研究清楚，必须建立一个从头到尾相对成系统的学科，于是他们给这个学科起了一个非常了不起的名字：数学分析。到微积分为止，数学在本质上是建立在物理直观和几何直观的基础上的，人们曾经尝试仍然用物理直观和几何直观来解释微积分，如上所说，没有成功。于是，数学家们决心改变研究思路，把数学建立在明确的定义和数学符号的基础上，这正如我们反复谈到，这是数学的第二步抽象，只有通过这一步抽象，才可能建立起清晰的数学理论。