平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)

中考进阶 几何与函数05 直角坐标三大公式 中点坐标 两点 点到直线距离

〖坐标基本原理〗

[1]. 与x轴平行的直线上的点,纵坐标不变;

[2]. 与y轴平行的直线上的点,横坐标不变。

〖中点坐标公式〗

已知A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂),M是AB的中点,求M(x, y)。

平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)(1)

作AC∥x轴、BC∥y轴,二者相交于点C;设D是BC中点,E是AC中点;

由坐标基本原理,易得:

C(x₂, y₁)

D(x₂, y)

E(x, y₁)

∵D是BC中点,∴BD/DC=1,即

(y₂-y)/(y-y₁)=1

解得

y=(y₂+y₁)/2;

同理,解得

x=(x₂+x₁)/2;

平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)(2)

〖两点距离公式〗

已知A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂),求|AB|。

平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)(3)

如图:

|AC|=|x₂-x₁|,|BC|=|y₂-y₁|,

由勾股定理 |AB|²=|AC|²+|BC|²,即

|AB|=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]

平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)(4)

〖点到直线距离公式〗

已知:

直线L y=kx+b,

点P坐标P(m, n),

求点P到直线L的距离d。

我们用垂线法,诱导这个公式。

平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)(5)

垂线法

互相垂直的直线斜率互为负倒数,可求得垂线PD所在直线方程(k≠0):

PD所在直线:y=-(1/k)(x-m)+n

与 y=kx+b联立求解交点(垂足),得垂足D的坐标:

x₁=(m+kn-kb)/(1+k²)

y₁=(km+k²n+b)/(1+k²)

△x=x₁-m=-k(km-n+b)/(1+k²)

△y=y₁-n=(km-n+b)/(1+k²)

由两点距离公式,得

PD=d=√[(△x)²+(△y)²]

=|km-n+b|/√(1+k²)

结论:

将L的函数表达式写成方程的形式:kx-y+b=0

P点到直线L的距离d,等于将P点坐标代入直线方程(km-n+b)计算结果的绝对值,再除以√(1+k²)。

平面直角坐标系及函数中考复习(中考进阶几何与函数)(6)

结论很整洁,也很有用。

初中未必讲,但原理上没有一点难度。

垂直直线的斜率互为负倒数,已经在《中考进阶 几何与函数 02 直角坐标系中 两直线的位置关系 平行与垂直》介绍过,也是很有用的公式。

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