初中数学利用圆证明三点共线（初中数学四点共圆判定方法）

四点共圆的判定方法有很多，今天，我们只简单的介绍五种，并配上例题进行说明，

一、四点共圆五种判定方法：

1、对角互补法：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆；特殊情形——若一个四边形有两个对角都为90º，那么该四边形四个顶点共圆；

推论：同斜边的直角三角形四点共圆。

2、同侧共底边三角形顶角相等法：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆(同弧所对圆周角相等）

也可表述为：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

3、中垂线法：连成的四边形三边中垂线交于一点，则这四点共圆．

证明：如图,ABCD是连成的四边形 其三边ABCD DA的中垂线交于点O

因为OE是AB的中垂线 所以OA=OB（线段中垂线上任何一点到线段两个端点距离相等）

同理 有 OA=OD OD=OC

即OA=OB=OC=OD（四个点到一定点的距离相等）

所以 A B C D四点共圆,圆心即连成的四边形各边中垂线的交点.

4、相交弦定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；

5、割线定理的逆定理：或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（见例5）

二、具体方法、例题解析

2.1、对角互补法

例1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD=GF

2.2、同侧共底边三角形顶角相等法（应用较多）

例2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA⊥MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q．

求证：AP=AQ．

证明：作 E 点关于 GA 的对称点 F，连 FQ、FA，FC，

∵OA⊥MN，EF⊥OA，

则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，

∵E，F，C，D 共圆

∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°﹣∠FCD，

∵∠PAF=180﹣∠FAQ，

∴∠FCD=∠FAQ，

∴FCAQ 四点共圆，

∠AFQ=∠ACQ=∠BED，

在△EPA 和△FQA 中

∠PEA = ∠QFA

AF = AE

∠PAE = ∠QAF

∴△EPA≌△FQA，

∴AP=AQ．

注：证两线段相等，一般考虑证所在的两三角形全等．

例3、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：∠PAB=∠PCB．

方法思路： 利用平行四边形的性质构造新的平行线，将条件中相等但分散的角集中起来。过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，利用 AD∥EP，AD∥BC，进而得出 ∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出 AEBP 共圆，即可得出答案．

证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP 共圆（一边所对两角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB

例4、在锐角三角形ABC中，BE，CF是高，在BE、CF或其延长线上分别截取CP＝AB、BQ＝AC，分别过P、Q作PM垂直BC，QM垂直BC，M、N是垂足，求证：PM＋QN＝BC。

证明：过A作AD⊥BC交BC于D。

∵CF⊥AF、CD⊥AD，∴A、F、D、C共圆，

∴∠BAD＝∠PCM。

∵∠BAD＝∠PCM、AB＝PC、∠ADB＝∠CMP＝90°，

∴△ABD≌△CPM，∴BD＝PM。······①

∵AE⊥BE、AD⊥BD，∴A、E、D、B共圆，∴∠CAD＝∠QBN。

∵∠CAD＝∠QBN、AC＝QB、∠ADC＝∠BNQ＝90°，

∴△ACD≌△BQN，∴CD＝QN。······②

由①、②，得：PM＋QN＝BD＋CD，显然有：BD＋CD＝BC，

∴PM＋QN＝BC。

2.3、割线定理的逆定理

例5、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D．求证：AB=DC， BC=AD．

证明：作 CQ⊥PD 于 Q，连接 EO，EQ，EC，OF，QF，CF，

所以 PC²=PQ•PO（射影定理），

又 PC²=PE•PF，

所以 EFOQ 四点共圆，

∠EQF=∠EOF=2∠BAD，

又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，

而 CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，

故 B、E、C、Q 四点共圆，

所以∠EBC=∠EQC= ∠EQF/2= ∠EOF/2=∠BAD，

∴CB∥AD，

易证△AOD≌△COB，所以 BO=DO，即四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AB=DC，BC=AD．

好了，今天的四点共圆证明的方法就介绍到这里，欢迎继续关注，精彩还将继续！

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