概率题中圆桌问题的规律（概率题的二三事）

「概率题」陷阱密布，我们要针对性简化题目。

「先固定一个位置，再计算接下来的概率」就是非常好用的一个技巧，这个技巧掌握后，能节省大量解题时间，并且能有效提高正确率。

一、「史上最简单题干」

【2012年4月联考】从3双完全相同的鞋中随机抽取2只，组成一双鞋的概率是多少？（A）1/2（B）3/5（C）1/6（D）1/3

从3双完全相同的鞋中随机抽取2只，组成一双鞋的概率是多少？（A）1/2（B）3/5（C）1/6（D）1/3

正确率39%，易错项D

---

本题题干仅有「3双」「2只组成一双」两个条件，可以说是「史上最简单题干」，不过从正确率上看，这道题没想象的那么简单。

遇到此类题时，我们还是要警惕「排列组合陷阱」，即：

当出现「概率题」和「题干简单」两个情况时，且表述中有类似「排列组合公式」的诱导性叙述，那么先不要盲目套用「排列组合公式」，而是要尝试列出一种可能，逐步分析。

不难看出，「3双完全相同鞋」可以视为「左左左右右右」6个元素。

那么「抽2只」有两种可能：

假设第1只抽的是「左」，那么第2只需要在「左左右右右」5只鞋中抽中「右右右」3只——即符合「抽取一双鞋」的要求，概率为3/5。

假设第1只抽的是「右」，那么第2只需要在「左左左右右」5只鞋中抽中「左左左」3只——也符合「抽取一双鞋」的要求，概率也为3/5。

即「无论第1只抽左鞋还是右鞋，概率都是3/5」，因此B「3/5」符合要求，正确。

通过本题我们不难发现，无论第1只抽的是什么，第2只都是「5选3」，不会影响最终结果。

也就是说，在「抽2个元素」的题目中先「固定1个元素的位置」，这样可以大大减轻做题压力。

相信看了西瓜前几篇解析的小伙伴，做这道题的时候不会上来就算C（6，2）了吧？……什么，真有人算吗？

那就好好翻翻前面几篇文章，要知道「概率题中出现『排列组合』陷阱」可是大概率事件。

对「陷阱」千万不能掉以轻心，不要把到手的分数扔了。

二、第1元素固定位置，不影响第2元素概率

「先固定一个位置，再计算接下来的概率」是解析「概率题」中常用的技巧，不过很多小伙伴不太清楚什么时候能用这种技巧，今天就简单介绍下。

在《概率题的二三事（4）——「想太多」，一个经典的陷阱》中，西瓜给大家分享了这么一道题目——

两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，求两个大人不相邻的概率。

在这里由于出现了「圆形」，因此第一个大人坐任意位置都不会影响第二个大人的结果，所以可以「先固定第一个大人的位置」，计算得结果为3/5。

理解了「圆形木马」这个简单的例子后，再来看「3双完全相同的鞋」这道题，我们不难发现「固定位置」的前提，即：

第1个元素固定位置后，对第2个元素的概率没有影响。

在「圆形木马」题目中，第1个大人坐任意位置，第2个大人都要「5选3」；

同样，在「3双完全相同的鞋」题目中，第1只鞋任意抽，第2只鞋都要「5选3」。

所以，当确定「第1个元素固定位置后，对第2个元素的概率没有影响」时，我们就可以先将第1个元素固定在一个位置，然后再进一步计算即可。

各位小伙伴学会了吗？学会的话，就来做下面这道题吧：

【由2012年4月联考改编】从3双不同的鞋中随机抽取2只，组成一双鞋的概率是多少？

正确答案为「1/5」，大家做对了吗？

分析下这道题的情况，显然两者有差别，这儿不再是「左左左右右右」，而是：

左1 右1左2 右2左3 右3

即「数字序号对起来的两只鞋，才能组成一双鞋」。

那么，此时可否使用「先固定1个位置，再求第2个位置的概率」呢？答案也是可以的。

分析可知，假设第1只鞋抽到了「左1」，那么第2只鞋必须抽到「右1」才符合要求。

即在剩余的鞋中「5选1」，几率为1/5。依此类推：

第1只「左2」，第2只必须「右2」；第1只「左3」，第2只必须「右3」；第1只「右1」，第2只必须「左1」……

可发现，无论第1只鞋抽的是什么，第2只鞋都必须在剩余的「5只」中抽取「1只」。

也就是说，「第1只鞋选什么，都不影响第2只鞋符合要求的概率为1/5」，由此可知「随机抽取2只，组成一双鞋的概率是1/5」

---

总结：

「先固定一个位置，再计算接下来的概率」是非常常见，也非常实用的「概率题」解析技巧，其前提是「第1个元素固定位置后，对第2个元素的概率没有影响」。

只要符合这一前提，我们就要尽可能地用「固定位置法」来解析。

当然，如果出现了「第1、第2个元素固定位置后，对第3个元素的概率没有影响」，就可以进一步去固定其他元素的位置，直到「对下一个元素的概率有影响」或「所有因素都确定完毕」为止。

总的来说，「概率题」的核心在于「找准解题步骤，排除陷阱」，只要不影响下一个元素的概率，就要尽可能的简化条件。

另外，还是要再次强调一点：不要被「疑似排列组合公式」的表述所迷惑。

像2012联考这道题，如果用「排列组合公式」来解析，其计算步骤应为：

组成1双鞋的可能数÷随机抽取2只鞋的总可能数=（3×3）÷C（4，2）=9÷15=3/5

这种计算过程稍显复杂，算的时候也容易出错，远不如「先固定一个位置，再计算接下来的概率」这种方法简便。

,