正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)

正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)(1)

题目:

求正方形面积,条件如图所示,A,E,C不一定共线

知识点回顾:

共圆性质定理
  1. 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
  2. 四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF,AC、BD交于P,则有:
  3. ∠A ∠C=180°,∠B ∠D=180°(即图中∠DAB ∠DCB=180°, ∠ABC ∠ADC=180°)
  4. ∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等)。
  5. ∠ADE=∠CBE(外角等于内对角,可通过(1)、(2)得到)
  6. △ABP∽△DCP(两三角形三个内角对应相等,可由(2)得到)
  7. AP*CP=BP*DP(相交弦定理)
  8. EB*EA=EC*ED(割线定理)
  9. EF²= EB*EA=EC*ED(切割线定理)
  10. AB*CD AD*CB=AC*BD(托勒密定理)
正方形性质定理
  1. 两组对边分别平行;四条边都相等;邻边互相垂直。
  2. 四个角都是90°,内角和为360°。
  3. 对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角。
  4. 既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴)。
  5. 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
  6. 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性。
  7. 正方形是特殊的矩形,正方形是特殊的菱形。

粉丝解法1:

可以证明本问题中A、E、C三点恰好共线! 简解:连结DE,由于矩形内任一点到两组对角顶点距离的平方和相等,∴AE² CE²=BE² DE², ∴2² (2√3)²=(2√2)² DE², ∴DE²=8, ∴DE=2√2. ∴BE=DE, 从而易得A、E、C三点共线, ∴AC=2 2√3 ∴正方形ABCD的面积=AC²/2=(2 2√3)²/2=8 4√3.

粉丝解法2:

管它共不共线。x² z²=4, y² z²=8, y² w²=12, x y=z w(y x)(y-x)=4, (w z)(w-z)=4, y-x=w-zy=w=√6, z=x=√2, S=(√2 √6)²=8 4√3

粉丝解法3:

正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)(2)

粉丝解法4:

将△BCE顺时针绕B旋转到△AE‘B,连EE‘,则△BEE‘是等腰Rt△,<BEE‘=45,EE‘=√2X2√2=4,在△AEE‘中,2^2+(2√3)^2=16=EE‘^2,△AEE‘是Rt△,且AE/EE‘=2/4=1/2,<AEE‘=60,<AEB=105,sABCD=AB^2=2^2+(2√2)^2-2x2x2√2xcos105=12+8√2x(√6-√2)/4=8+4√3。

正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)(3)

粉丝解法5:

把△ABE绕点B顺时针旋转90°,使AB与BC重合,E点旋转到E',由题意易知: △BEE'是等腰Rt△,EE'²=8 8=16=CE² CE'², △CEE'是Rt△,∠CE'E=60°∠CE'B=105°, cos105°=cos(60° 45°)=(√2-√6)/2=(BE'² CE'²-BC²)/2BE'·CE'解得BC²=8+4√3,即S正=8+4√3

正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)(4)

粉丝解法6:

其实有个特殊位置直接算。既然没有告诉你AE、EC在一条直线上,说明这是正方形中任意一点E(排除AC中点),其结果都相同,既然如此,可以直接取AC连线上不是中点的一点E,这时候AC长就是2 2根号3,对角线乘积的一半就是面积,也就是8 4倍根号3

粉丝解法7:

a² c²=4

a² (x-c)²=8

(x-a)² (x-c)²=12

解得x=√2 √6

S=x²=8+4√3

正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)(5)

粉丝解法8:

正方形内部有折线求正方形面积(求正方形面积条件如图所示A)(6)

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