费马点初中几何模型经典例题（距离之和最小问题的原型）

之前总结过，初中几何求线段之和最短的问题，主要思路是通过变换实现线段拼接。有一类求几条线段距离之和最小的问题，拼接的方法非常巧妙。最经典的就是三角形的费马点问题。

问题描述：寻找在一个最大角不超过120°的三角形中，到三个顶点距离之和最小的点。

先说答案：在△ABC中找一点P，连接PA、PB、PC。若三条线段两两成120°角，则这个点就是到三个顶点距离之和最小的点。这个点叫做三角形的“费马点”。

如何证明这个点就是到三个顶点距离之和最小的点？这里记录一种经典而且美妙的解法。

将△ABP绕点B逆时针旋转60°，旋转后的三角形为△A’BP’。

因为△ABP与△A’BP’全等，因此PA=P’A’。

旋转60°，且PB=P’B，那么△BPP’是正三角形，于是有PB=PP’。

那么PA PB PC=A’P’ P’ P PC

这是一段折线，当且仅当A’P’、P’ P、PC呈直线时距离之和最短。

此时，∠APB=∠A’P’B=120°，同理∠BPC =∠CPA=120°。