高中求函数解析式方法总结（高中函数其实很简单）

1.同学们在高中学习函数的困境

听到学生笑话：买菜需要用函数？老师觉得震惊！知道有人认可这种言论，老师觉得痛心！

其实，刚学习集合和不等式的时候，同学们对数学的抵抗情绪并没有那么严重，因为集合简单，不等式具象。学集合没有数学思维，至少不至于考不及格；不等式比大小，生活里还是很多比大小的场景的，相对比较具体可以感受。

但是到了函数，有些学生已经懵了，虽然小学第一名100分满分我也不算差能有80分呀！虽然中考还是有满分150的但我也有110呀！进高中集合与不等式虽然不是考得不好但是也及格了呀！怎么学到函数20分30分50分都能考得出来了？而那个小学满分，中考也满分的，跟我差距没那么大的同学，竟然还是90 的好成绩！

与其承认自己不如别人，攻击“学好数学的意义” 不是能更好地接纳自我？不是面子上更能挂得住？

这种怪相，我觉得有几方面的责任：

1. 社会的评价机制不够丰富。我们不会公开表扬一个人善良，但是我们会把文化课考试成绩排名贴在墙报上，我们大部分的中学教育还不会认可音乐、体育、美术、思想品德等方面表现良好的同学。这种风气裹挟了学生的自我评价，文化课学不好，对摧毁一个学生的自信心，是很有分量的。而一个人没有自信，就容易不自爱，说出“学习无用论”这样的话，做出“不珍惜学习的权利”的行为。这是很令人痛心的。
2. 家庭教育的缺失。孩子文化课出现危机，父母很少站在孩子这边，跟孩子“同仇敌忾”，鼓舞孩子士气，给挫败的孩子重建心理防御。反而父母会站到孩子的对立面，对孩子进行二次攻击，指责孩子没有好好学习，划清责任。这种对立，不仅让孩子厌恶学习，也会厌恶跟家长沟通学习上的问题。
3. 老师的责任。虽然这个责任往根源挖，还是有社会的问题在里面，但是数学老师不能讲好课确实是一个方面的原因。教书，是老师想要教，而不是社会逼着我们不得不去教。首先，繁重的行政任务占用时间，教学以外的沟通任务消耗热情（一个孩子跟家长吵次架，老师分别安慰家长和学生，调和矛盾就可能耗费掉两个小时的时间）；其次，学校的评价机制（及格率、平均分、最高分等等都有要求）促使教师将目光集中在学生的考试成绩上，而不是学生这个人上；最后，学生学习水平参差不齐、学习主动性低也给教学带来极大困难……

当这种教学主动性开始丧失，我们可能仍然是一个合格的老师，拿着从业许可证书合法从业，在教师评比比赛里拿到合格名次，学习主动性强的学生在我们的知识输出下仍然能学到知识，对于没有进步的学生一句“师傅领进门修行靠个人”也可以不必承受道德绑架。但，这都是做给外面看的！多数学习没有主动性的学生，在这样的教学下，不是原地踏步，就是不断退步，越学成绩越差，越学越没意思。

同学们，大家学习高中数学的处境，确实会遇到一些阻力。老师未必是好的老师，父母不见得为自己加油呐喊，你文化课以外的优异没有人会关注，连同你自己都会忽视。这些阻力，都是真实存在的，但是面对阻力，选择“迎难而上”还是“妥协认输”的权利，是你的！没有人可以强迫你放弃学习，老师不好可以买教辅书自己学，看网课，或者多琢磨那个不懂的知识点！父母不为自己鼓掌，你可以自己给自己鼓掌助威！你的个人主观能动性，是你的，除了你自己可以掐灭，没有人能逼你放弃！

2.谈谈“联系”的美妙

联系，虽然同学们都知道万事万物之间有联系，但是并没有郑重提出这个词，也没有用思维思考过这个东西，可是这个东西，我们太熟悉了，因为它在我们的生活里，无处不在，毫不陌生。

老师和同学，通过“教学”行为，产生“联系”。这个联系的里，有两个对象，连接这两个对象的行为是“教学”。假设站在老师的角度，老师“教”学生，研究“怎么教”的学科就是“教育学”。教育学告诉老师，提高“老师”这个对象的“表扬的量”，“学生”这个对象的“学习积极性的量”会提升，但是“表扬的量太大”，反而“学习积极性的量降低”。根据这个规律，作为老师的我，就可以通过调整自己 “表扬的量”到“最合适”来影响“学生的学习积极性”。

我想这个例子，同学们应该能完全认可“教育学”这门学科的价值和意义，也会感慨，因为有联系，调整自己就能影响别人的奇妙。当然，这建立在对“联系”做了“研究”，知晓这种“联系”的“规律”，根据“规律”来施加影响，才不会事与愿违。

我们生活中的各种各样的联系，都会有专门的学科去研究这些联系的规律。比如农业学科就会研究空气湿度，土壤肥力对作物产量的影响规律；营销学科就会研究买家与卖家之间的互动行为；社会学科就会研究人口结构对国民经济的影响。习得规律，就可以事半功倍，提高工作效率。

所以研究联系的规律的学科，是有价值的，学习这些学科，是有意义的。

而当一个联系里的两个对象，替换成数字，研究数与数的联系，以及这种联系之间的规律，就是高中数学函数版块的任务。函数，就是数与数之间的联系的官方称呼。函数，就是一种联系。

我听到过老师拿函数太抽象来把学生学不好函数的责任推到学生身上，说学生的抽象思维不够。这一点我是诧异的。因为我觉得函数是生活中处处都有的联系的一种，是非常具体的，可以感受到的一种东西。所以希望同学们先不要信了自己抽象思维差的那套说法，先入为主地认为自己学不好函数，那就额外给自己添加了巨大的学习阻力了。

3.说说考试中的函数

函数示例

反函数示例

3.1定义域

x作为函数这种联系里的掌握主动权的量，犹如教的过程中老师掌握主动性，我们称为自变量，自变量的权限范围，就是定义域。比如老师不能体罚学生，教的过程施加影响的手段就不可以使用体罚这个措施，那开方运算在实数运算里被开方数必须为非负数，那么负数就不能被放进开方运算里进行计算。

3.2函数性质

我们研究联系，就是研究联系里的两个对象以及这种联系的规律，规律是最重要的主体，但是为了保证规律的有效性，我们也需要知道规律的受用对象，所以确定对象是首要的。所以函数里，优先要考虑的是自变量的定义域，函数性质是最重要的！

我们发现表扬可以促进学生学习积极性，就会好奇表扬的反面“批评”对学习积极性的影响，我们发现适量的批评可以激发学生的廉耻心，过量的批评却会让学生自暴自弃。跟表扬的效果很“对称”，函数的性质里，也会去研究“对称性”，具备对称性的函数，我就可以像诸葛亮一样待在茅庐里指点江山。哪怕你问我x在（-2，-1）时函数的问题却不给该范围的相应信息，也没关系。只要这个函数有对称性，我可以只拥有x在（1,2）的信息，就可以推测出x在（-2，-1）的函数信息。

又比如，我刚刚描述增加表扬的量，积极性提升，增加得太多，积极性反而降低。这种性质就是在函数里就叫“单调性”，这个性质描述因变量随着自变量的增减的变化特征。也就是说如果问题问我因变量的相关信息，我可以从自变量和单调性这两个信息去推演出因变量的信息。

函数还有一些性质，比如周期性，凹凸性等。都有它们的价值，同学们学会了这些价值，就能处理对应的问题了。

3.3值域

因变量的取值范围，就叫值域。根据上面介绍函数单调性，就可以知道，求因变量的最小值和最大值，离不开定义域和单调性这两个信息的搜集。

3.4函数的兄弟姐妹：方程与不等式

这是函数

这个平方运算就是函数，如果我指定因变量为某个定值比如4，这个等号就变成了如下图，就叫方程。

这是方程

如果我要你找出能使得方程成立的x，这就是再要你“解出方程”。如果我要你找出能使平方以后比4大的数，那就是让你“解不等式”。如下图所示：

这是不等式

所以方程和不等式的问题，都可以放在函数视角下来审视，它们不过是函数关系里指定了一个因变量的值而已。

结束语

学到高中数学的函数版块，我们才算真正接触到数学最美妙的地方。同学们不要被外界错误的声音迷失了心智，要带着快乐的心情，高中数学一定是你能学好的学科的坚定信念，来学习高中函数。真心地希望同学们，可以遇到失败后勇敢，树立目标后坚韧，战术上重视数学脚踏实地，战略上藐视数学自信自强！

祝愿同学们身体健康，学业有成，永远爱知识！

2020.11.20

易周数学胡老师