伯努利公式表（伯努利数与伯努利多项式）

从特例出发，提出问题

首先我们来看四个求和公式：

那么我们能从前面三个公式找出哪些规律来呢？

1. 自然数的m次方求和，公式是一个m 1次方的多项式；

2. 多项式的最高次项系数为1/(m 1)；

3. 次高项（x^m）的系数为1/2。

再也看不出其它规律了。

根据上述规律，我们可以推推断一下自然数的四次方和形式如下：

那么真实情况如何呢？

果然如此，我们猜对了！！！

我们不是数学家，只能到这一步了，但带"家"的人不会就此止步。

雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli‎,1654－1705)，牛顿同时代的另一位神仙级"家"人物，受牛顿二项式定理的启发，终于通过锲而不舍的连蒙带猜，彻底地解决了这个问题，即对任意自然数m，他找到了求

的通项公式。

牛顿也是连蒙带猜，找到了二项式展开的通项公式：

牛顿二项式定理

再结合杨辉三角数，可以直接出展开式，如

给我们带来了巨大的方便性。

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伯努利数（Bernoulli Numbers）

如下表格中的Bi即为伯努利数。

伯努利数与

的求和公式的系数有如下关系：

令p=4，我们得到

与前面的结论一致。

令p=20，得到

有了伯努利常数，我们就可以直接写出前若干项自然数的n次幂的和了。是不是很方便？

但是，伯努利数是如何求得的呢？

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伯努利数的求法

就是将如下公式左边用泰勒级数展开，得到右边的式子，其中的系数中的Bn即为伯努利数。

可以求出B0, B1, B2, B3,…。

由于上式中求更多的展开式比较困难，人们得到了一种更方便的求伯努利的递推方法：

另外，伯努利数也可以通过黎曼Zeta函数求得：

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伯努利多项式

根据伯努利数生成的如下多项式

为伯努利多项式。其中Bk为伯努利数。

对应的坐标曲线如下图所示：

据说，随着m越来越多，Bm(x)长得越来越像正弦函数。

伯努利多项式有广泛的应用（如黎曼Zeta函数），这里就不做介绍了。

Jacob Bernoulli‎

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