伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)

从特例出发,提出问题

首先我们来看四个求和公式:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(1)

那么我们能从前面三个公式找出哪些规律来呢?

1. 自然数的m次方求和,公式是一个m 1次方的多项式;

2. 多项式的最高次项系数为1/(m 1);

3. 次高项(x^m)的系数为1/2。

再也看不出其它规律了。

根据上述规律,我们可以推推断一下自然数的四次方和形式如下:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(2)

那么真实情况如何呢?

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(3)

果然如此,我们猜对了!!!

我们不是数学家,只能到这一步了,但带"家"的人不会就此止步。

雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli‎,1654-1705),牛顿同时代的另一位神仙级"家"人物,受牛顿二项式定理的启发,终于通过锲而不舍的连蒙带猜,彻底地解决了这个问题,即对任意自然数m,他找到了求

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(4)

的通项公式。

牛顿也是连蒙带猜,找到了二项式展开的通项公式:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(5)

牛顿二项式定理

再结合杨辉三角数,可以直接出展开式,如

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(6)

给我们带来了巨大的方便性。


伯努利数(Bernoulli Numbers)

如下表格中的Bi即为伯努利数。

伯努利数与

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(7)

的求和公式的系数有如下关系:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(8)

令p=4,我们得到

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(9)

与前面的结论一致。

令p=20,得到

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(10)

有了伯努利常数,我们就可以直接写出前若干项自然数的n次幂的和了。是不是很方便?

但是,伯努利数是如何求得的呢?


伯努利数的求法

就是将如下公式左边用泰勒级数展开,得到右边的式子,其中的系数中的Bn即为伯努利数。

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(11)

可以求出B0, B1, B2, B3,…。

由于上式中求更多的展开式比较困难,人们得到了一种更方便的求伯努利的递推方法:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(12)

另外,伯努利数也可以通过黎曼Zeta函数求得:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(13)


伯努利多项式

根据伯努利数生成的如下多项式

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(14)

为伯努利多项式。其中Bk为伯努利数。

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(15)

对应的坐标曲线如下图所示:

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(16)

据说,随着m越来越多,Bm(x)长得越来越像正弦函数。

伯努利多项式有广泛的应用(如黎曼Zeta函数),这里就不做介绍了。

伯努利公式表(伯努利数与伯努利多项式)(17)

Jacob Bernoulli‎

,

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