三角形def面积最小值(P是正三角形内任意一点)

如图所示:P是正三角形ABC内一点,过P分别作三边的垂线PE、PF、PG,垂足分别是E、F、G,若△ABC的面积是16,求绿色部分的面积,我来为大家科普一下关于三角形def面积最小值?以下内容希望对你有帮助!

三角形def面积最小值(P是正三角形内任意一点)

三角形def面积最小值

如图所示:P是正三角形ABC内一点,过P分别作三边的垂线PE、PF、PG,垂足分别是E、F、G,若△ABC的面积是16,求绿色部分的面积。

分析:如果P是内心,显然绿色部分的面积是正三角形面积的1/2。

当P是任意点时,猜测涂色部分面积的面积和占比不变。

证明也不难。

过点P分别作三角形三边的平行线IJ、MN、ST,如图所示。

可知△PMT为正三角形(由平行关系,易知三个角均为60°),

因为PG⊥MT,所以S△PMG=S△PGT;

可知BMPI是平行四边形,所以S△PBM=S△PBI;

故涂色部分△PBG的面积是梯形BMPI的1/2。

同理可证△PAE的面积是梯形AIPN的1/2,

△PFC的面积是梯形CNPT的1/2。

而三个梯形的面积和正好是正三角形ABC的面积,

因此涂色部分的面积是正三角形ABC面积的1/2=8。

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