高中数学统计与概率大题 高中数学小题专练

肖博数学小题专练·(十四) 概率，我来为大家科普一下关于高中数学统计与概率大题 高中数学小题专练?以下内容希望对你有帮助!

高中数学统计与概率大题 高中数学小题专练

肖博数学小题专练·(十四) 概率

一、选择题

1.一枚硬币连掷 2 次，只有一次出现正面的概率为( )

A.

2

3

B.

1

4

C.

1

3

D.

1

2

答案 D

解析 一枚硬币连掷 2 次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、

(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，∴P=

2

4=

1

2，故

选 D。

2.若 A，B 是互斥事件，P(A)=0.2，P(A B)=0.5，则 P(B)等

于( )

A.0.3 B.0.7

C.0.1 D.1

答案 A

解析 由题意得，根据互斥事件的概率，可得 P(A B)=P(A)

P(B)，所以 P(B)=0.3，故选 A。

3.在区间









 -

π

2，

π

2 上随机取一个数 x，则 cosx 的值在











0，

1

2 之间

的概率为( )

A.

1

3

B.

2

π

C.

1

2

D.

2

3

答案 A

解析 当 cosx 的值在











0，

1

2 之间时，x∈









 -

π

2，-

π

3 ∪









π 

3，

π

2 ，所

2

以所求的概率为

2×









π 

2-

π

3

π

2-









 -

π

2

=

1

3。

4.已知数列{an}满足 a1=2，an 1=-2an(n∈N*

)。若从数列{an}

的前 10 项中随机抽取一项，则该项不小于 8 的概率是( )

A.

3

10 B.

2

5

C.

3

5

D.

7

10

答案 B

解析 由题意可知 an=2·(-2)n-1，故前 10 项中，不小于 8 的只

有 8,32,128,512，共 4 项，故所求概率是 4

10=

2

5。

5.从x

2

m-

y

2

n=1(其中 m，n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、

双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲

线方程的概率为( )

A.

1

2

B.

4

7

C.

2

3

D.

3

4

答案 B

解析 当方程x

2

m-

y

2

n=1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线

时，不能有 m<0，n>0，所以方程

x

2

m-

y

2

n=1 表示椭圆、双曲线、抛物

线等圆锥曲线的(m，n)有(2，-1)，(3，-1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，

(-1，-1)，共 7 种，其中表示焦点在 x 轴上的双曲线时，则 m>0，

n>0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共 4 种，所以所求概率 P=

4

7。

3

6.如图，圆 C 内切于扇形 AOB，∠AOB=

π

3，若向扇形 AOB 内

随机投掷 600 个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )

A.100 B.200

C.400 D.450

答案 C

解析 如图所示，作 CD⊥OA 于点 D，连接 OC 并延长交扇形于

点 E，设扇形半径为 R，圆 C 半径为 r，∴R=r 2r=3r，∴落入圆内

的点的个数估计值为 600·

πr

2

1

6

π(3r)

2

=400。

7.已知集合 A={-2,3,5,7}，从 A 中随机抽取两个不同的元素 a，

b，作为复数 z=a bi(i 为虚数单位)的实部和虚部。则复数 z 在复平

面内的对应点位于第一象限的概率为( )

A.

1

2

B.

2

3

C.

3

4

D.

4

5

4

答案 A

解析 从集合 A={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素 a，b，

组成复平面内的对应点有(-2,3)，(-2，5)，(-2,7)，(3，-2)，(3,5)，

(3,7)，(5，-2)，(5,3)，(5,7)，(7，-2)，(7,3)，(7,5)，共 12 种;其

中位于第一象限的点有(3,5)，(3,7)，(5,3)，(5,7)，(7,3)，(7,5)，共 6

种。所以复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为 P=

6

12=

1

2。

8.如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B

的度数分别为 60°和 45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△

ABC 内的概率为( )

A.

3 3

16π B.

3 3

4π

C.

4π

3 3

D.

16π

3 3

答案 B

解析 由正弦定理 BC

sinA=

AC

sinB=2R(R 为△ABC 外接圆的半径)，得





BC=20sin60°，

AC=20sin45°，

解得



BC=10 3，

AC=10 2，

则 S△ABC=

1

2×10 3×10 2sin75°=25(3 3)。于是，豆子落在△

5

ABC 内的概率为 P=

S△ABC

S圆

=

25(3 3)

102π =

3 3

4π 。

9.(2017·广州综合测试)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前

放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币。若硬币正面朝上，

则这个人站起来;若硬币正面朝下，则这个人继续坐着。那么，没有

相邻的两个人站起来的概率为( )

A.

1

2

B.

15

32

C.

11

32 D.

5

16

答案 C

解析 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个

人同时抛出自己的硬币，基本事件总数共有 2×2×2×2×2=32(种)。

若五个人同时坐着有 1 种情况;若四个人同时坐着，一个人站着有 5

种情况;若三个人同时坐着，两个人站着有(甲丙、甲丁、乙丁、乙

戊、丙戊)5 种情况。没有相邻的两个人站起来的情况共有 1 5 5=

11(种)，故所求的概率为11

32，故选 C。

10.(2017·湖北七市联考)从数字 1,2,3,4,5 中，随机抽取 3 个数字

(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于 12 的概率为( )

A.

2

25 B.

13

125

C.

18

25 D.

9

125

答案 A

解析 从 5 个数字中任意抽取 3 个数字组成一个三位数，并且允

许有重复的数字，这样构成的数字有 5

3=125 个，但要使各位数字之

和等于 12 且没有重复数字时，则该数只能含有 3,4,5 三个数字，它们

6

有 345,354,435,453,534,543 共 6 种;若三位数的各位数字均重复，则

该数为 444，只有 1 种;若三位数中有 2 个数字重复，则该数为

552,525,255，有 3 种。因此，所求概率为 P=

6 1 3

125 =

2

25，故选 A。

11.(2017·云南省统一检测)在平面区域









x y-4≤0，

x>0，

y>0

内随机

取一点(a，b)，则函数 f(x)=ax2-4bx 1 在区间[1， ∞)上是增函数

的概率为( )

A.

1

4

B.

1

3

C.

1

2

D.

2

3

答案 B

解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及

边界 AB(不包括边界 OA，OB)，则 S△AOB=

1

2×4×4=8。函数 f(x)=ax2

-4bx 1 在区间[1， ∞)上是增函数，则应满足 a>0 且 x=

4b

2a

≤1，

即





a>0，

a≥2b，

可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界 OC，

7

BC，不包括边界 OB)，由



a=2b，

a b-4=0，

解得 a=

8

3，b=

4

3，所以 S

△COB=

1

2×4×

4

3=

8

3，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率

为

8

3

8=

1

3，故选 B。

12.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代

表作。书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几

何?”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，

问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子，则落在

其内接正方形内的概率是( )

A.

60

289 B.

90

289 C.

120

289 D.

240

289

答案 C

解析 如图，设 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a，b，其内接正

方形 CEDF 的边长为 x，则由△ADF∽△ABC，得AF

AC=

DF

BC，即

a-x

a =

x

b，

解得 x=

ab

a b

。从而正方形 CEDF 的面积为 S 正方形 CEDF=















ab 

a b

2，又

8

Rt△ABC 的面积为 S△ABC=

ab

2 ，所以所求概率为 P=















ab 

a b

2

ab

2

=

2ab

(a b)

2=

2×5×12

(5 12)

2 =

120

289，故选 C。

二、填空题

13.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6

个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的

概率是________。

答案 5

6

解析 基本事件共有 36 个。如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，

(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，

(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，

(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满

足点数之和小于 10 的有 30 个。故所求概率为 P=

30

36=

5

6。

14.在长度为 10 的线段 AB 上任取一点 C(异于 A，B)，则以 AC，

BC 为半径的两圆面积之和小于 58π 的概率是________。

答案 2

5

解析 设 AC=x，则 BC=10-x,0

2 π(10

-x)

2<58π，即 x

2-10x 21<0，解得 3

7-3

10 =

2

5。

15.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD

的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 与点 O

的距离大于 1 的概率为________。

9

答案 1-

π

12

解析 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与点 O 的距离等于

1 的点的轨迹是一个半球面，其体积 V1=

1

2×

4

3

π×1

3=

2π

3 。事件“点 P

与点 O 的距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 2

3-

2π

3 。根据几何

概型概率公式，得点P与点O的距离大于1的概率P=

2

3-

2π

3

2

3 =1-

π

12。

16.已知函数 f(x)=cos

πx

6 ，集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从 M

中任取两个不同的元素 m，n，则 f(m)·f(n)=0 的概率为________。

答案 5

12

解析 已知函数 f(x)=cos

πx

6 ，集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从

M 中任取两个不同的元素 m，n，则 m=3,9 时，f(m)=cos

πm

6 =0，满

足 f(m)·f(n)=0 的个数为：m=3 时有 8 个，m=9 时有 8 个，n=3 时

有 8 个，n=9 时有 8 个，重复 2 个，共有 30 个。从 A 中任取两个不

同的元素 m，n，则 f(m)·f(n)的值有 72 个，所以从 M 中任取两个不同

的元素 m，n，使 f(m)·f(n)=0 的概率为 P=

30

72=

5

12。

10

请加关注 获取正确技巧（视频联系方式）

,