百慕大三角假说 加百利号角悖论是什么

我们在三维空间中构造出一个表面积无穷大,但体积却是有限的形状。如下图所示,可以看出这个形状类似乐器——小号,又称为加百利号角。

百慕大三角假说 加百利号角悖论是什么(1)

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这个号角的怪异之处就在于:如果你想要向里面灌水去填满它,这是可以做到的;但如果你想用油漆将其表面都刷一遍,那么不好意思,这个办不到。因为理论上你需要无穷多的油漆才能刷满它。

乍一听,可能很多朋友都不相信,怎么可能有这种东西呢?但实际上当初提出这个设想的可是正正经经的科学家——埃万杰利斯塔·托里拆利。没错就是我们中学时代,物理课上讲的那个测量大气压的托里拆利。

百慕大三角假说 加百利号角悖论是什么(3)

其构思是在数学层面进行的,过程很简单:我们设想将反比例函数y=1/x,其中沿x大于等于一的部分,绕着x轴旋转一圈,就可以得到这么一个形状,长的和小号很像。

百慕大三角假说 加百利号角悖论是什么(4)

这时候,托里拆利就想去计算这个小号的面积和体积是多少?值得注意的是,当时距离微积分的出现还有几十年呢。因此托里拆利只能用当时数学中的卡瓦列利原理(这个卡瓦列利原理,实际上就是中国的祖暅原理,但祖暅原理要比其早了一千年),之后托里拆利得到这个小号的表面积无穷大,但体积却是一个有限值。

这个结论让人非常惊讶,因为从直观上来讲,一个物体在体积有限的情况,它的表面积竟然是无穷大的,难以想象它的存在。

没错,因为这个小号过于违背人们的直觉,以至于当时英国著名的哲学家托马斯·霍布斯直呼:如果你想要从感官上去理解它,只有疯子才能办到!

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当时的数学界也是议论纷纷,直到后来微积分出现后,人们利用微积分再次对其验证,结果发现结论是正确的,确实是面积无穷大,体积有限,且体积值为Π。

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图中出现的就是利用微积分计算面积和体积的算式,可以看到用到的微积分知识都是相当基础的。

实际上关于这个争论,从客观世界出发,并没有多烧脑,因为数学图像是理想模型,这个小号就是一个长度无限的曲面,毫无厚度可言,而且它根本不需要考虑微观层面的物质构成。

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就好比于,在数学上我们可以说一条线、一个面。但实际上,只有长度,却没有厚度和宽度的线;以及只有长度和宽度,却没有厚度的面,二者在客观世界中我们根本造不出来。

因此这个小号也是造不出来的,所谓的悖论也只是存在于人们的直觉感受上而已。

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