数字歌课文（数的畅想曲下）

昨天发了数集的前半部分，有兴趣的小伙伴们戳这里。

今天咱们从有理数开始接着说。

实数、无理数

实数：real number。实数集用R表示。

实数是在有理数集合上增加了无理数的结果。

有没有人想过这个问题：

整数，分数，奇数，偶数，这些名称都勉强能理解；

“有理数”是什么鬼？因为它比较有理？

无理数就更奇怪了，它哪里失去理智了？

不是无理数失去理智，是历史上要消灭无理数的人们失去了理智。

数集扩展到有理数，人们一度觉得这回差不多够用了。

你看，四则运算封闭了，数集又是稠密的。

从宏观上看，有理数要多大有多大。

从微观上看，有理数之间的缝隙要多细有多细，感觉已经跟没有缝隙差不多了（可惜这只是感觉）。

所以在公元前500年左右，古希腊的主流学术代表毕达哥拉斯学派认为，有理数是自然、连续衔接的（其实并不是），有理数和数轴也实现了一一对应（其实也并不是）。

所以毕达哥拉斯学派认为，“一切数均可表示成整数或整数之比（分数）”；这个数集代表着完美，理性，理智；有理数集无敌于天下！

今天我们知道，做判断题时有一个屡试不爽的规律：只要一句话说的太绝对，口气很强硬，说不存在任何反例的，那么它十有八九都是错的。

这个故事也是一样。

很快就出现了一个反例：

一个人的出现，动摇了毕达哥拉斯学派建立在有理数基石上的整个哲学大厦的根基。

这个人的名字叫做希帕索斯（Hippasus，也译成希伯斯）。他是无理数的发现者，也是受害者。

凶手就是有理数的卫道士们。

具体来说就是，这个希帕索斯是毕达哥拉斯的学生，也是毕达哥拉斯学派的成员。

他经过反复研究发现，边长为1的正方形（一说正五边形）的对角线长度很诡异，似乎不在有理数的范围里。

他没有能给出严格的证明，但是他能确定的是，这个对角线长不是有理数。

于是他就正式对毕达哥拉斯学派之前的结论提出了质疑。

这一下就捅翻了马蜂窝：

正规说法是所谓的三大数学危机的第一次。

毕达哥拉斯学派很不开心，后果很严重。

要知道当时的这个学派可不是什么善男信女组合，也不是什么文质彬彬的知识分子，整天坐而论道。

伦家是当时的主流学派，在社会上名声很大，结交的都是上层社会的名流，搞的沙龙都是会员制的，不是敲门就能进的。而且，他们隔三岔五还要去给国家最高领导人上个数学课什么的，类似于后来的英国皇家科学院。

你想，这么一个高大上的团体，怎么会容得自己的哲学理论被人质疑。

更何况是公开的尖锐质疑！

又更何况质疑者还是他们自己的一员！

面对这个啪啪响的耳光，毕达哥拉斯和他的学生们没有认真反省自己理论的不完备，更没有对希帕索斯的结论进行研究和吸收；相反，他们很愤怒，采取的对策是不遗余力的打压，要把斗争升级：要武斗，不要文斗。

毕达哥拉斯说，我们不仅要在学说上把你搞臭（比如把新发现的这个数称为无理数），更要在肉体上把你消灭。

希帕索斯听到消息就跑路了，过了几年远遁海外亡命天涯的日子，后来还是被抓住：最后的结果是被装进大口袋里扔进了大海。

无理数的发现者就这么被杀害了。

科学和历史的道路上，从来就不缺残忍的烂帐、可笑的阴谋。

知道这个故事之后，每当看到“无理数”这三个字，我看到的确实是无理，但不是正方形对角线的无理。

这个对角线惹着谁了？它客观地、静静地存在着，千百年从未变过，只等着大家来发现，何无理之有？

“无理数”这个名称，作为一个带血的昭示和无声的证据，警戒着那些硬要对自然知识和科学研究扣上帽子的人们：

无理的是固步自封，无理的是绞杀进步。

同时，它衬托出来的是那些孤身前行，敢于质疑权威的伟大学者的不朽光辉。科学从来就不是循规蹈矩者所认定的理想当然，更不是某个服务于统治阶级的政治集团或学派手中的玩物。她只会垂青于永不满足现状，永不放弃梦想，愿意付出自己的智慧、力量乃至生命而不懈探索的追寻者。

正义女神有时候蒙着眼，但她一定明察秋毫。

历史的时钟流转千年，科学终向希帕索斯还以清白。

现在我们仔细看，希帕索斯发现的这个对角线的长度。

当今接受过一定教育的人们都知道，根据勾股定理，边长为1的正方形对角线的长度是

。

那么问题来了：

确实不是有理数吗？

确实不是。

为什么呢？

之前说过，相对枯燥的证明不是咱们的本意，所以无兴趣的童鞋请跳过下面斜体部分：

已知：有一个数是

。（这算神马已知？！）

求证：它不是有理数。

用反证法：与需要证明的结论做一个相反的假设，在此基础上用正确的推导过程推出错误，就能证明假设不成立。

也就是说，先假设

是有理数，看看会不会推出什么毛病来。

根据定义，任何一个有理数都可以表示成p/q的形式，其中p,q都是整数。

光这个设定一会还不够推出矛盾，我们还要更进一步：要设定这个p/q是既约分数——通俗的说就是p和q已经不能再约分了（不记得约分的童鞋看过来：两个数一起除以一个大于1的整数，还能得到两个更小的整数，这个过程就叫约分，比如6/8=3/4，9/15=3/5等）。

由于约分的过程一定是有限的，所以我们一定可以用已经约到底，不能再约的结果作为这里的表示式p/q。

下面正式开始推导：

对

=p/q两边平方，得到2q*q=p*p。

q是整数，所以等式左边就是个偶数。

那么右边也就得是个偶数，所以p得是偶数。

所以p可以表示为2p1，其中p1是整数。

再代入上面那个等式，就是2q*q=(2p1)*（2p1）=4p1*p1，也就是q*q=2p1*p1。

这个新的等式右边是偶数，那左边也得是偶数，从而q也是偶数。

这就矛盾了！刚刚说了，p和q是已经约到底不能再约了的，怎么现在冒出来它俩都是偶数，两个偶数还可以再用2去约呀。

说好了不约，怎么又约。到底约不约，能不能有个准！

结论是，“

是有理数”的假设不能成立。

所以

不是有理数。

这个简单漂亮的证明过程是有主人的，它归大数学家欧拉版权所有。

那

到底是什么？

不是有理数，就只好叫无理数。

也就是说，无理数是在我们认识的有理数之外的一群数，他们以

为典型代表，不在有理数的管辖区里。

比如

，π 1，3e等等。

如果都化成小数来看，那么：

整数就是小数部分为0的特殊小数（4=4.0）；

分数分为两种，有限小数（比如1/4=0.25）和无限循环小数（1/7=0.142857142857…）。

这三类小数都是有理数。

无理数就是无限不循环小数，大家最熟悉的就是

π=3.1415926……，

e=2.7182818284590……，

=1.41421356……，

等等。

这些数都是实际存在的，都是要在数轴上有自己的座位的。

所以，有理数只稠密，不连续。

稠密是说，要多挤有多挤；不连续是说，不管你有多挤，中间还是存在着好多好多的空当，永远填不满。

这两者并不矛盾。

用前文的例子来说，无限长的公路两侧，有几乎无限多的尘埃细沙，细沙之间的空隙要多细有多细——但是空隙始终存在，这就叫稠密不连续。

而把无理数这个新的补丁再补充到数有理集里来，形成的这个新的数集叫什么呢？

由于它们都是实际存在的数，所以叫实数。

实数集空前强大：

首先，实数集无限。

而且，实数集的这个无限的等级比有理数、整数、自然数都高！

专业的说法是，有理数、整数、自然数的无限等级是阿列夫零，实数的无限等级是阿列夫一。

我们这是科学的普及和漫谈，不是高等数学的专业研究，小伙伴们只要明白，阿列夫一是比阿列夫零更高级的存在就可以。

类似说大家都是神仙，但是有理数、自然数这些只是地上的灯笼鬼、狐仙之类的散仙；而实数已经是天上的有正规编制的大仙了，至少也是赤脚大仙。

其次，实数集不可列。由于实数已经在宏观和微观上都臻于化境，所以对实数进行穷举是不可能的；想要像有理数那样，找到一个规律然后把所有的数都按照顺序列出来，也是做不到的。

不用说整个实数集，就是任何两个实数（比如0和1）之间，想要用某种规则列出其中所有的实数，都是做不到的。

不过，实数还保留了一点小纯真：实数仍然是可比的，任何两个实数之间，总还可以比较大小。这一点听着有点好笑吧？下面说到虚数就笑不出来了。

然后，实数集连续。

这是一个非常优美的特点。

如果把有理数近似比喻成沙堆的话，实数就可以近似比喻成水——沙堆再密，总还有缝隙；而水已经连成一片，宏观世界里再难想象和观察其缝隙了（说分子间有缝隙的是对的，求不抬杠）。

另外，实数集与直线数轴一一对应：任何一个实数都在数轴上有一个确定的位置；反过来，数轴上任何一个点都对应着一个实数。

最后，实数集对加减乘除（除数不为0）和乘方（幂）运算都封闭，对开方运算不封闭：它搞不定负数的偶次方根问题。

复数、虚数

复数：complex number。复数集用C表示。

复数是在实数的基础上增加了虚数的结果。

上面说了，实数对开方运算不封闭：直白说就是，负实数偶次方根开不出来。

开不出来就开不出来呗，反正数轴直线都已经填满了，你找出这个数来也没有地方放啊。

不行。

数学家们很执着很严谨，一定要继续研究。

横着的数轴上没地方放，就再弄一条竖着的直线来放。

这是怎样一种精神（病）！

数学家发现，之所以所有的负数开偶次方都开不出来，归根到底是因为

开不出来。只要

有了定义，其他的事情都好办。

好，既然如此，那就这样：不管

是什么玩意，也不管它到底在哪里存在，我们把它设成i，先这么用着再说。

于是虚数就这么被定义出来了，i就是虚数的单位。

在这种“先用起来再说”的胆略后面，其实数学家们有点虚。有点心虚。

摘抄几个历史上大佬对虚数的评价：

“这是没有意义的、想象中的、虚无缥缈的数。”——意大利学者卡当。

“这是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”——德国数学家莱布尼茨。

“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”——瑞士大数学家欧拉。

“实数的鬼魂，想象中的数。”——法国数学家笛卡尔。

从这些评价中能看出，历史上的这些数学家们还是有闲工夫的，没少研究神鬼之说。

既然发明的人和使用的人大家都这么虚，所以这类数就叫做虚数。

虚数不再有大小之比（这可能也是让数学家们觉得虚的原因）。

比如刚刚说的

（下面就用i代替）和实数0之间，其实是无法比大小的，证明过程也并不复杂，这里不赘述了。

从几何意义上来说，i对应的点，既不能放在原点左边，又不能放在原点右边，还不能和原点重合。

那把它往哪放？！

其实刚才前面已经轻微剧透了：不能左也不能右，就往上面放……放到原点的上面去……

你横着的数轴不是填满了吗，我就再弄条竖的轴来放虚数：

横着的X轴（实数）和纵着的Y轴（严格说是除去原点之外的Y轴，虚数）共同组成了一个平面，叫做复平面。

只有在x轴上的实数才能比较大小；除此之外，整个复平面上的任何两数之间，都是不能比较大小的。

我想，这就是大神欧拉对虚数评价的内涵吧。

再写一遍：

它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。

虚数的产生导致了两个有意思的结果：

第一，虽然虚数本身感觉是“虚”的，但它的引入却为科学家提供了研究向量（带方向的量，也称矢量，比如物理里的力，功，速度等）的最好工具。

第二，虚数的产生改变了无理数的地位。长期以来无理数作为数集大家庭里最后来的小弟，一直底气不足；直到虚数这个更后来的小弟出现，无理数终于被正式纳入到实数的范围里，媳妇熬成婆，大家一起欺负虚数。

复数是目前常用的数集里外延最广的数集。

复数集无限，不可列，连续（展开内容复杂，不在此处讨论），对加减乘除乘方（幂）开方六则运算都封闭（除数不为0）。

尾声

从自然数扩展到了复数，人类使用的数集终于基本告一段落。

回顾这个演变和扩充历史，里面其实记录着的都是人类对世界的认识不断深入的过程。这个过程有血有泪有心跳。科学史和科学故事很精彩，有时也很无奈。

有理数，无理数，实数，虚数，还有更多更多的数，他们都在静静地等待着人类的研究和认识；而只要人类社会的斗争还在，为了科学事业流血牺牲的人就不会绝迹。

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