高等数学微积分快速入门(十分钟了解微积分的来龙去脉)

微积分是现代科学的基础,学习微积分是一个现代人的必修课。

数学在于给出有效的计算方法,并且要解释它为什么有效。比如已知一个直角三角形的两个直角边的长度,我们可以依据勾股定理(勾股定理的发现是长期经验积累的一次创新),计算出斜边的长度,同时,还需要以可理解的方式证明勾股定理,给出其适用的条件。这样,我们的认知才是圆满的,我们看到的世界才不是现象或概念的混合,而是有层次有秩序的运行着的。

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图1 勾股定理的证明

微积分的发明也是这样,对于求运动速度,求曲线切线,求曲线长度、所围面积、立体体积,求极大值和极小值等问题,我们可以依据求微分,求导数,求积分的原则进行计算。但要论证它为什么是正确的,就不如勾股定理那样的容易了。

我们以求运动速度为例1,求曲线所围面积为例2来简要介绍微积分的方法。

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这便是微分(导数即微分之比)的方法,它有近似和说不清楚的地方,但这种方法是非常有效的:我们可以用这种方法计算曲线的切线斜率(这时只需要把例1中的函数s=s(t)看作一条普通的曲线,计算出来的v(t)即为切线斜率);我们令v(t)=0,还可以找到曲线上的切线正好水平的位置,它们很可能是极值点;我们令v(t)等于一个特定的数值k,便可以找到斜率为的直线与曲线相切的位置,等等。总之,这种方法在计算上是非常行之有效的,解决了大量的科学问题和工程问题。

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这便是积分的方法,它有近似和说不清楚的地方,但这种方法是非常有效的:我们可以用这种方法计算任意图形面积(如例2),计算任意立体体积(只需把例2中的函数v=v(t)看作薄片的面积,每一个薄片体积为v(t)dt,物体体积等于所有薄片体积的积分),计算行星运动曲线的长度(只需把例2 中的v(t)dt看作曲线上一小段弧的长度,把积分区间变为曲线的起点和终点),等等。总之,这种方法在计算上是非常行之有效的,解决了大量的科学问题和工程问题。

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图4 牛顿

微分和积分正好是一个相反的运算,这一点通过例1和例2的计算过程可以清楚地看到。同时,在积分计算中,o 的寻找是一个难点,它也不再是无关紧要的,而正好是连接微分和积分的桥梁。o是在微分运算的过程中产生的,这是它的来源,积分之所以比较困难,正在于我们为了简便,在微分和导数运算中忽略了o,当然,它本身就是“小到忽略不计”的量。

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图5 莱布尼茨

也正是这“小到忽略不计”的量,引发了历史上的第二次数学危机。面对如此高明的微积分方法,人们却没有办法给予解释,人们不知道微分和是什么,它们究竟是不是0。倘若不是0,则o便无法忽略,不管多么的小,它始终是一个甩不掉的尾巴,计算结果总是近似的相等的,然而应用微积分方法计算的结果却是精确的;倘若是0,则微分之比变成了0除以0,这与代数学中的0不能做分母产生矛盾,同时还会推导出无数荒谬的结论。这个问题一直困扰着人们。

第二次数学危机的根本问题可以概括为,微分是什么?

(未完待续)

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