一元函数的导数及其运用知识点（选择性必修第二册第五章）

一、导数与生活实际的联系

为了刻画现实世界中运动是变化着的现象，在数学中引入了函数。随着对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度存在怎样的一种关系？怎样求任意曲线的切线、曲边形的面积和几何体的体积？怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？………于是，导数与积分应运而生。

二、本章需要掌握的内容有：

5个重要概念：平均变化率、瞬时变化率、导数、导数的几何意义、极值；

4个重要知识点：导数的几何意义、单调性、极值、最值；

2个重要运算法则：导数的四则运算法则、复合函数求导法则；

2个重要应用：导数的应用、实际应用；

1个重要思想：极限思想。

三、思想方法归纳

1，数形结合的思想

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。通过“以形助数，以数辅形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，函数的图象是直观反映函数性质的重要载体。通过数形结合研究函数的图象可以为研究函数性质带来极大方便。

2，分类与整合的思想

分类与整合的思想是当数学对象的本质属性在局部上有不同点，而又不便化归为单一本质属性的问题时，根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想．特别是利用导数研究函数问题时，常需要对自变量和相关字母进行分类讨论。但要注意按划分标准所分的各类间应满足互相排斥、不重复、不遗漏、最简洁的要求。

3，函数与方程的思想

函数与方程的思想（即联系思想或运动变化的思想）就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程的有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想。利用导数研究函数问题时，常会通过构造函数或方程，把所研究的问题转化为函数或方程问题，利用函数性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

函数是中学数学的核心内容 导数是研究函数的重要工具

4，化归与转化的思想

化归与转化的思想是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想。这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果。

四、专题归纳总结

1，导数的几何意义及其应用

利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代人直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1,y1)，则切线方程为yーy1=f＇(x1)·(xーx1)，再由切线过点P(x。，y 。）得y。= f '(x1)(x。-x1)，结合y1=f(x1）求出x1,y1的值，即求出了过点 P (x0,y0）的切线方程。

导数的几个意义

2，利用导数研究函数的单调性、极值与最值

a，导数与函数的单调性

(1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论导数的符号，进而判断函数的单调区间。

写单调区间时，特别要注意区间之间用“和”或“,”隔开，还是用“ U ”连接。

(2）函数的单调性与导函数值的关系

函数f(x）在（a,b）内可导，若f＇(x)>0，则函数f(x）在（a,b）内单调递增；

若f＇(x)<0，则函数f(x）在（a,b）内单调递减。

反之，若函数f(x）在（a,b）内单调递增，则f＇(x)≥0;若函数f(x）在（a,b）内单调递减，则f＇(x)≤0。

即f (x)>0(f＇(x)<0）是f(x）单调递增（减）的充分不必要条件。

b，导数与函数的极值、最值

(1）导数与函数极值的关系

对于可导函数f(x),f＇(x0)=0是函数f(x）在x=x。处取得极值的必要不充分条件。

(2）利用导数求函数极值、最值应注意三点

①求单调区间时，应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；

② f＇(x0)=0时，×。不一定是极值点；

3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论。

方法总结：求函数的最值的方法步骤

(1）求函数f(x）在（a,b）内的极值；

(2）将函数f(x）的各极值与f(a),f(b）比较得出函数f(x）在【a,b】上的最值。

3，利用导数求参数的取值范围

a，已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷。在解决问题的过程中要处理好等号的问题，因为f＇(x)>0（或 f＇(x)<0）仅是一个函数在某区间上递增（或递减）的充分不必要条件，而其充要条件是f＇(x)≥0（或f＇(x)≤0)，且使f＇(x)=0的点是有限的。

b，利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f＇(x)≥0或 f＇(x)≤0恒成立，用分离参数法或利用函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意；另一思路是先令f＇(x)>0（或f＇(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“=”，看此时f(x）是否满足题意。

4，利用导数证明不等式

若要证明不等式f(x)>g(x)，通常可构造函数F(x)=f(x)-g(x)，只需证F（x)>0，由此转化为求F（x）的最小值问题，可借助于导数解决；若要证明不等式f(x)>a(a为常数）,通常需证明f(x）为增函数，且f(x) min＞a .

方法点拨：利用导数证明不等式时，通常是采用构造函数。

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