几何图形问题和答案大全（几何原本-第6卷）

这一讲，我将向大家介绍第6卷“相似图形”中的命题16-命题20是如何证明的，这5个命题分别证明了以下结论：

命题16：若四条线段成比例，那么两外项形成的矩形面积等于两内项形成的矩形面积。若两外项形成的矩形面积等于两内项形成的矩形面积，那么这四条线段成比例。

命题17:若三条线段成比例，那么由两外项构成的矩形面积等于中项上的正方形面积。若由两外项构成的矩形面积等于中项上的正方形面积，那么这三条线段成比例。

命题18：在给定线段上作一个直线形，使该图形与给定直线图形相似，且有相似的位置。

命题19：相似三角形面积之比等于其对应边的二次比。

命题 20:两个相似的多边形被分割为相等数量的相似三角形，对应三角形间的面积比与原图形的面积比一致，且多边形间的面积比等于对应边的二次比。

以下是这5个命题的证明过程：

命题 16:若四条线段成比例，那么两外项形成的矩形面积等于两内项形成的矩形面积。若两外项形成的矩形面积等于两内项形成的矩形面积，那么这四条线段成比例。

情形一:

设AB、CD、E、F为四条成比例的线段，即AB比CD等于E比F。

目标:证明由AB、F构成的矩形面积等于由CD、E构成的矩形面积。

​证明:

1、过点A、C分别作AG、CH与AB、CD成直角【第1卷 命题11】。且AG等于F，CH等于E【第1卷 命题 3】。

2、作平行四边形BG、DH成补形。

3、因为AB比CD等于E比F，E等于CH，F等于AG，所以AB比CD等于CH比AG。

4、于是在平行四边形BG、DH中，夹等角的边互成反比。

5、又在两个等角平行四边形中，若夹等角的边互成反比，则平行四边形面积相等【第6卷 命题14】，所以平行四边形BG的面积等于平行四边形DH的面积。

6、因为AG等于F，所以BG是由AB、F组成的矩形。因为E等于CH，所以DH是由CD、E组成的矩形。所以由AB、F组成的矩形面积等于由CD、E构成的矩形面积。

7、因为AG等于F，所以BG是由AB、F组成的矩形。因为E等于CH，所以DH是由CD、E组成的矩形。所以由AB、F组成的矩形面积等于由CD、E构成的矩形面积。

情形二:

另设由AB、F构成的矩形面积等于由CD、E构成的矩形面积。

目标:证明这四条线段成比例，即AB比CD等于E比F。

​证明:

7、在作图不变的情况下，由AB、F构成的矩形面积等于由 CD、E构成的矩形面积。

8、因为AG等于F，所以BG是由AB、F构成的矩形;因为CH等于E，所以DH是CD、E构成的形。所以，矩形BG的面积等于矩形DH的面积，且二者等角。

9、在面积相等且等角的平行四边形中，夹等角的边互成反比【第6卷 命题14】，所以AB比CD等于CH比AG。

10、因为CH等于E，AG等于F，所以AB比CD等于E比F。

11、综上，若四条线段成比例，那么两外项形成的矩形面积等于两内项形成的矩形面积。若两外项形成的矩形面积等于两内项形成的矩形面积，那么这四条线段成比例。

命题17:若三条线段成比例，那么由两外项构成的矩形面积等于中项上的正方形面积。若由两外项构成的矩形面积等于中项上的正方形面积，那么这三条线段成比例。

情形一:

设A、B、C为三条成比例的线段，即A比B等于B比C。

目标:证明由A、C为边构成的矩形面积等于B上的正方形面积。

证明:

1、作D等于B【第1卷 命题3】。

2、因为A比B等于B比C，B等于D，所以A比B等于D比C。

3、若四条线段成比例，那么两外项构成的矩形面积等于两中项构成的矩形面积【第6卷 命题16】。因此，由A、C构成的矩形面积等于由B、D构成的矩形面积。

说明:该步骤运用了第6卷命题16的结论:

①如果有a、b、c、d四条线段成比例，即a/b=c/d，那么由线段a、d为边围成的矩形面积等于由线段b、c为边围成的矩形面积。

②如果由线段a、d为边围成的矩形面积等于由线段b、c为边围成的矩形面积，那么a/b=c/d。

4、因为B等于D，所以由B、D构成的矩形是B上的正方形。所以，由A、C为边构成的矩形面积等于B上的正方形面积。​

情形二:

另设由A、C构成的矩形面积等于B上的正方形面积。

目标:证明A比B等于B比C。

​证明:

5、在作图不变的情况下，由A、C构成的矩形面积等于B上的正方形面积。

6、因为B等于D，所以B上的正方形面积是由B、D构成的矩形面积。

7、因此，由A、C构成的矩形面积等于由B、D构成的矩形面积。

8、若两外项构成的矩形面积等于两中项构成的矩形面积，那么这四条线段成比例【第6卷 命题16】。所以A比B等于D比C。

说明:该步骤运用了第6卷命题16的结论:

①如果有a、b、c、d四条线段成比例，即a/b=c/d，那么以线段a、d围成的矩形面积等于以线段b、c围成的矩形面积。

②如果以线段a、d围成的矩形面积等于以线段b、c围成的矩形面积，那么a/b=c/d。

9、又因为B等于D，所以A比B等于B比C。

10、综上，若三条线段成比例，那么由两外项构成的矩形面积等于中项上的正方形面积。若由两外项构成的矩形面积等于中项上的正方形面积，那么这三条线段成比例。

命题18:在给定线段上作一个直线形，使该图形与给定直线图形相似，且有相似的位置。

设AB为给定线段，CE为给定直线形。

目标:在线段AB上作一个直线形，使该图形与CE 相似，且有相似的位置。

证明:

1、连接DF，分别过点A、B在线段AB上作角GAB等于C点处的角、角ABG等于角CDF。【第1卷 命题23】

2、由此，余下的角CFD等于角AGB【第1卷 命题32】。所以，三角形FCD与三角形GAB的各角相等。

3、所以FD比BG等于FC比GA，又等于CD比AB。【第6卷 命题4】

4、另，分别过点G、B在线段BG上作角BGH等于角DFE、角GBH等于角FDE。【第1卷 命题23】

5、因此，余下的E点处的角等于H点处的角【第1卷 命题32】;所以，三角形FDE与三角形BGH的各角相等。

6、所以FD比GB等于FE比GH，又等于ED比HB。【第6卷 命题4】

7、因为已经证明了FD比GB等于FC比GA，又等于CD比AB，所以，FC比AG等于CD比AB，又等于FE比GH，又等于ED比HB。

8、因为角CFD等于角AGB，角DFE等于角BGH，所以角CFE等于角AGH。

9、同理，角CDE等于角ABH。

10、因为C点的角等于A点处的角，E点处的角等于H点处的角，所以直线形AH与直线形CE的各角相等。

11、又因为这两个图形夹等角的边成比例，所以直线形AH相似于直线形CE。【第6卷 定义1】

说明:该步骤运用了第6卷中定义1的结论:

定义1:相似的直线图形，各角对应相等且夹等角的边成比例。

12、综上，给定线段AB上的直线形AH，与给定直线形CE相似，且有相似的位置。

命题 19:相似三角形面积之比等于其对应边的二次比。

设三角形ABC、三角形DEF为相似三角形，B点处的角等于E点处的角，AB比BC等于DE比EF，因此BC对应EF。

目标:证明三角形ABC与三角形DEF的面积之比等于BC与EF的二次比。

证明:

1、作BC、EF的第三比例项BG，于是BC比EF等于EF比BG。【第6卷 命题11】

2、连接AG。因为AB比BC等于DE比EF，所以AB比DE等于BC比EF。【第5卷 命题16】

说明:该步骤运用了第5卷中命题16的结论:

如果a/b=c/d，那么a/c=b/d 。

3、又BC比EF等于EF比BG，所以AB比DE等于EF比BG。

4、所以，对于三角形ABG、三角形DEF来说，其夹等角的边成反比，这些三角形中有一对角相等，且夹该等角的边互成反比，那么这些三角形面积相等【第6卷 命题15】。所以三角形ABG面积等于三角形DEF面积。

5、又因为BC比EF等于EF比BG，若三条线段成比例，那么第一条与第三条之比等于第一条与第二条的二次比【第5卷 定义9】，因此，BC与BG的比等于BC与EF的二次比。

说明:该步骤运用了第5卷中定义9的结论:

如果有三个量α、β、γ成比例，即α/β=β/γ,那么α与γ之比是α与β的二次比，用公式表达就是α/γ=（α/β）²。

6、因为BC比BG等于三角形ABC的面积比三角形ABG的面积【第6卷 命题1】，所以三角形ABC与三角形ABG的面积比等于边BC与边EF的二次比。

说明:该步骤运用了第6卷中命题1的结论:

等高三角形或者平行四边形面积之比等于底边之比。

7、因为三角形ABG的面积等于三角形DEF的面积，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比等于边BC与边EF的二次比。

8、综上，相似三角形面积之比等于其对应边的二次比。

命题19推论:由此得出，如果三条线段成比例，那么第一条线段与第三条线段的比等于第一条线段上的图形与第二条线段上的与其相似且有相似位置的图形的面积比。

说明:为了便于大家理解命题19推论的意思，我还是以命题19中的图形进行解释说明:

①推论中说的第一条线段为BC，第二条线段为EF，第三条线段为BG。

②BC/BG=△ABC的面积/△ABG的面积。

③步骤4中已经证明了△ABG的面积等于△DEF的面积，所以BC/BG=△ABC的面积/△DEF的面积。

④而△ABC的面积为第一条线段BC上的图形面积，△DEF的面积的面积为第三条线段BG上的图形面积。

⑤所以推论的意思是，如果BC/EF=EF/BG，那么BC/BG=△ABC的面积/△DEF的面积。

命题 20:两个相似的多边形被分割为相等数量的相似三角形，对应三角形间的面积比与原图形的面积比一致，且多边形间的面积比等于对应边的二次比。

已知多边形ABCDE与多边形FGHKL是相似多边形，AB的对应边为FG。

目标:证明多边形ABCDE与多边形FGHKL被分为等量的相似三角形后，三角形之间的面积比与原图形的面积比一致，且多边形ABCDE与多边形FGHKL面积之比等于AB与FG的二次比。

​证明:

1、连接BE、EC、GL、LH。

2、因为多边形ABCDE与多边形FGHKL相似，所以角BAE等于角GFL，BA比AE等于GF比FL。【第6卷 定义1】

说明:该步骤运用了第6卷中定义1的结论:

定义1:相似的直线图形，各角对应相等且夹等角的边成比例。

3、因为三角形ABE和三角形FGL有一个角相等，且夹等角的边成比例，所以三角形ABE与三角形FGL的各角相等【第6卷 命题6】。所以，这两个三角形相似【第6卷 命题4、第6卷 定义 1】。因此角ABE等于角FGL。

说明:该步骤运用了第6卷中命题6以及命题4的结论:

命题6:如果两个三角形有一个角相等，且夹该等角的边成比例，那么这两个三角形各角对应相等。

命题4:如果两个三角形各角相等，那么等角所对应的边成比例。

4、因为两个多边形相似，所以角ABC等于角FGH。所以角EBC等于角LGH。

5、因为三角形ABE、FGL相似，所以EB比BA等于LG比GF。

6、又因为两个多边形相似，所以AB比BC等于FG比GH，因此，可得首末比，EB比BC等于LG比GH【第5卷 命题22】，且夹等角EBC、LGH的边成比例。因此，三角形EBC与三角形LGH的各角相等【第6卷 命题6】。因此，三角形EBC与三角形 LGH 相似。【第6卷 命题 4、第6卷 定义 1】

说明:该步骤运用了第5卷中命题22的结论:

有a、b、c与d、e、f两组量，如果a/b=d/e，b/c=e/f，那么a/c=d/f。

7、同理，三角形ECD与三角形LHK也相似。综上，相似多边形ABCDE与FGHKL被分为相同数量的相似三角形。

​

8、连接AC、FH，因为两个多边形相似，所以角ABC等于角FGH，AB比BC等于FG比GH，所以三角形ABC与三角形FGH的各角相等【第6卷 命题6】，所以角BAC等于角GFH，角BCA等于角GHF。

9、因为角BAM等于GFN，角ABM等于角FGN，所以角AMB等于角FNG【第1卷 命题32】。因此，三角形ABM与角形FGN的各角相等。

10、同理可证，三角形BMC与三角形GNH的各角相等。

11、因此，可得比例，AM比MB等于FN比NG，BM比MC等于GN比NH【第6卷 命题4】。因此，可得首末比，AM比MC等于FN比NH。【第5卷 命题22】

12、因为等高三角形的面积比等于其底边的比，所以AM比MC等于三角形ABM的面积比三角形MBC的面积，等于三角形AME的面积比三角形EMC的面积【第6卷 命题1】。

13、一个前项比一个后项,等于所有前项的和比所有后项的和【第5卷 命题12】。因此，三角形AMB的面积比三角形BMC的面积等于三角形ABE的面积比三角形CBE的面积。

说明:该步骤运用了第5卷中命题12的结论:

如果a/b=c/d=e/f，那么a/b=(a c e)/(b d f)

14、而三角形AMB的面积比三角形BMC的面积等于AM比MC，所以AM比MC等于三角形ABE的面积比三角形EBC的面积。同理，FN比NH等于三角形FGL的面积比三角形GLH的面积。

15、因为AM比MC等于FN比NH，所以三角形ABE的面积比三角形BEC的面积等于三角形FGL的面积比三角形GLH的面积，可得其更比例，三角形ABE的面积比三角形FGL的面积等于三角形BEC的面积比三角形GLH的面积【第5卷 命题16】。

说明:该步骤运用了第5卷中命题16的结论:

如果a/b=c/d，那么a/c=b/d。

​16、同理可证，连接 BD、GK，三角形BEC的面积比三角形LGH的面积等于三角形ECD的面积比三角形LHK的面积。

17、因为三角形ABE的面积比三角形FGL的面积等于三角形EBC的面积比三角形LGH的面积，又等于三角形ECD的面积比三角形LHK的面积，所以一个前项比一个对应的后项，等于所有前项的和比所有后项的和【第5卷 命题12】，所以三角形 ABE的面积比三角形FGL的面积等于多边形ABCDE的面积比多边形FGHKL的面积。

18、因为相似三角形的面积比等于其对应边的二次比【第6卷 命题19】，所以三角形ABE与三角形FGL的面积比等于对应边AB与FG的二次比。因此，多边形ABCDE与多边形FGHKL的面积比等于对应边AB与FG的二次比。

19、综上，两个相似的多边形被分割为相等数量的相似三角形，对应三角形间的面积比与原图形间的面积比一致，且多边形间的面积比等于对应边的二次比。

命题20推论:同理可证，对于四边形来说，其面积比也等于其对应边的二次比。已证明了此结论对三角形也适用。因此，一般情况下，相似直线形的面积比等于其对应边的二次比。

好了，这一讲就到这里了。

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