高等代数与数学分析题（北京大学2008年高等代数与解析几何试题及解答）

试题部分的LaTeX源码在一个多月前就由一个同学帮我弄好了，但是我当时的计划是先把数学分析的解答全写掉再弄高等代数与解析几何的解答，没想到一放却放了这么久，直到今天才能把这份试题的解答写出来。这份试题与2006年的那份高等代数差不多，有不少题也是能在丘爷爷书上找到的，不过有一点点新的东西，第7题应该算是蓝以中老师的题目，我写的两个解答都用了他的《高等代数简明教程》上的定理，而在我的记忆中这两个定理似乎没有在丘爷爷的书上以定理的形式出现。

第一题是线性方程组的东西，没有什么特别好说的。呃，这个第二题第一问我用了线性方程组的解空间来做的，第二问要用到矩阵的伴随矩阵。第三题是相当经典的题目，在高等代数教材上正定矩阵部分基本上都能找到与此相关的题目。在第四题的解答中我用了初等数论的一点点知识，在2012年的那份解答中也用到初等数论的知识。第五题用Jordan标准型就直接得到结果，当然由于这里的结论没有Jordan标准型那么深刻，只用数学归纳法也能做出来，丘爷爷的书上有一个对矩阵的阶数做归纳的证明，蓝以中老师的书上是对线性空间的维数做归纳的证明。

第7题的充分性是显然的，必要性比较麻烦，我给的那两个解答都借用了蓝以中老师书上的定理，而那两个定理本身不是那么好证明的，我不知道是否有不用过于复杂的定理来证明这题的方法。另外说一点，蓝以中老师书上的定理2.1比较重要，用这个定理能解决不少关于正交矩阵的题目。蓝以中老师书上证明定理2.1的方法也可以拿来证明北京大学2019年的高等代数第二题。

第八题比较简单，利用过直线的平面束方程就行。第九题是关于直纹面的，解题方法不难想，只是有些难算，我基本上把每一步怎么算的也提了一下。这里是关于单叶双曲面的，后来2009年与2016年的解析几何考到了关于双曲抛物面的情形。第十题只是个简单的计算题。第11题也不难，只要想到平面与直线相交所得那个点就是圆心，剩下的就只是简单的计算。