高三数学怎样上90(高三毕业班数学第一讲)

考点一 集合的概念与运算知识梳理,今天小编就来说说关于高三数学怎样上90?下面更多详细答案一起来看看吧!

高三数学怎样上90(高三毕业班数学第一讲)

高三数学怎样上90

考点一 集合的概念与运算

知识梳理

1.集合与元素

(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.

(3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法.

(4)常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N+(或N*)

Z

Q

R

(5)集合的分类

若按元素的个数分类,可分为有限集、无限集、空集;若按元素的属性分类,可分为点集、数集等.特别注意空集是一个特殊而又重要的集合,如果一个集合不包含任何元素,这个集合就叫做空集,空集用符号“∅”表示,规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.解题时切勿忽视空集的情形.

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)

A⊆B

(或B⊇A)

真子集

集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB

(或BA)

集合相等

集合A,B中元素完全相同或集合A,B互为子集

A=B

子集与真子集的区别与一个集合的真子集一定是其子集,而其子集不一定是其真子集.

3.全集与补集

(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素,这样的集合就称为 全集 ,全集通常用字母 U 表示;

(2) 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.

4.集合的运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

符号

A∪B={x|x∈A,或x∈B}

A∩B={x|x∈A,且x∈B}

∁UA={x|x∈U,且x∉A}

5.集合关系与运算的常用结论

(1)子集个数公式:若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个.

(2) A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B.

(3)(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) .

典例剖析

题型一 集合的基本概念

例1 已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是

答案 5

解析 列表

根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.

变式训练 已知集合A={0,1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中有________个元素.

答案 6

解析 因为x-y∈A,∴x≥y.

当x=0时,y=0;

当x=1时,y=0或y=1;

当x=2时,y=0,1,2.

故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},

即集合B中有6个元素.

解题要点 研究集合问题,通常从代表元素入手,考查其所代表的是数还是点,如果代表元素是数x,则是数集,如果代表元素是数对(x,y),则是点集.在列举集合的元素时可借助表格,或根据元素特征分类列举,列举时应做到不重不漏.

例2 设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=________.

答案 2

解析 因为{1,a+b,a}=,且由a在分母的位置可知a≠0,

所以a+b=0,则=-1,

所以a=-1,b=1.所以b-a=2.

变式训练 已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.

答案 -

解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.

当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,

此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;

当2m2+m=3时,解得m=-或m=1(舍去),

此时当m=-时,m+2=≠3符合题意,

所以m=-.

解题要点 对于含字母参数的集合,应准确进行分类讨论,列出方程或方程组求出字母参数的值.需要特别注意的是,求出字母参数值后,还要检验是否违反了集合中元素的互异性.

题型二 集合间的基本关系

例3 集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有 个

答案 4

解析 根据题意,在集合A的子集中,

含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0,-1}、{-1,0,1},共四个.

变式训练 设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有 个

答案 6

解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),其中一个奇数元素也没有的集合有两个:∅和{2},故满足要求的集合M共有8-2=6(个).

解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件.在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合.

例4 设,若,则a的取值范围是 .

答案

解析 根据题意作图:

由图可知,,则只要即可,即的取值范围是.

变式训练 已知集合,则a的取值范围是 .

答案

解析 ,∵,根据题意作图:

由图可知,只要即可,即的取值范围.

解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时,常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.

题型三 集合的基本运算

例5 已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.

答案 5

解析 A∪B={1,2,3,4,5},共有5个元素.

变式训练 已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于________.

答案 {-1,0,1,2}

解析 A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},B为整数集,A∩B={-1,0,1,2}.

解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简,准确弄懂集合中的元素,求并集时相同的元素只算一个.

例6 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B) =________.

答案 {x|0<x<1}

解析 ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},

∴A∪B={x|x≤0或x≥1},

在数轴上表示如图.

∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.

变式训练 已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则A∪B=________.

答案 R

解析 ∵x(x-2)>0,∴x<0或x>2.

∴集合A与B可用数轴表示为:

由图象可以看出A∪B=R.

解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点,常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,解题时先求出各个集合,然后借助数轴求交并是基本方法.

当堂练习

1. 已知集合,集合,,则________.

答案 {4}

解析 因为A∪B={1,2,3},全集U={1,2,3,4},所以U(A∪B)={4}.

2.若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∩N等于________.

答案 {0,1}

解析 由集合M={-1,0,1},N={0,1,2},得到M∩N={0,1}.

3.已知{菱形},{正方形},{平行四边形},则之间的关系为_______

答案

4.已知集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y<2,x、y∈Z},用列举法可以表示集合A为________.

答案 {(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

解析 集合A表示不等式组确定的平面区域上的格点集合,所以用列举法表示集合A为{(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

5.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N= .

答案 {1,2}

解析 由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,

解得1≤x≤2,故N={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2}.

课后作业

1.已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0},则A∩B等于________.

答案 (2,3)

解析 ∵A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0}={x|1<x<3},

∴A∩B={x|2<x<3}=(2,3).

2.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=________.

答案 {-2,0,2}

解析 先确定两个集合的元素,再进行并集运算.集合M={0,-2},N={0,2},

故M∪N={-2,0,2}.

3.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>4},则M∪N等于________.

答案 {x|x<-5或x>-3}

解析 在数轴上表示集合M和N,如图所示,

则数轴上方所有“线”下面的部分就是M∪N={x|x<-5或x>-3}.

4.若集合A={x∈R|ax2 ax 1=0}中只有一个元素,则a=________.

答案 4

解析 a=0时,ax2 ax 1=0无解,此时,A=,不合题意;

a≠0时,由题意得方程ax2+ax+1=0有两个相等实根,则,解得a=4.

5.已知全集,集合,,则= ________.

答案 {0,2,4}

解析 ∵={0,4},={0, 2,4}.

6.已知集合,,则________.

答案 {1,4}

解析 ∵x=n2,n∈A,∴x=1,4,9,16.

∴B={1,4,9,16}.∴A∩B={1,4}.

7.满足条件{0,2}∪M={0,1,2}的所有集合M的个数为________.

答案 4

解析 由题可知集合M中必有1,满足条件的M可以为{1},{0,1},{2,1},{0,1,2}共4个.

8.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=________.

答案 0或3

解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A,∵A={1,3,},B={1,m},

∴m∈A,故m=或m=3,解得m=0或m=3或m=1,又根据集合元素的互异性m≠1,所以m=0或m=3.

9.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁UB)等于________.

答案 {1}

解析 ∵∁UB={1,5,6},∴A∩(∁UB)={1,2}∩{1,5,6}={1}.

10.已知A={3,5,6,8}且集合B满足A∩B={5,8},A∪B={2,3,4,5,6,7,8},则这样的集合B有________个.

答案 4

解析 ∵A∩B={5,8},∴5,8∈B,又∵A∪B={2,3,4,5,6,7,8}而A={3,5,6,8},

∴2,4,7∈B,∴3,6可以属于B,也可不属于B. ∴这样的B有22=4(个).

11.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B等于 .

答案 {x|-3<x<2}

解析 由题意,得A∩B={x|-5<x<2}∩{x|-3<x<3}={x|-3<x<2}.

12.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为

答案 2

解析 A={…,5,8,11,14,17…},B={6,8,10,12,14},集合A∩B中有两个元素.

13. 已知A={x|2a<x≤a+8},B={x|x<-1或x>5},若A∪B=R, 则a的取值范围是________.

答案 -3≤a<-

解析 ∵B={x|x<-1或x>5},A∪B=R, ∴ 解得-3≤a<-.

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页