微积分入门基本公式第55讲（微积分发展史6:曲线和切线）

上一讲我们讨论了直线的斜率，直线好说，关键是曲线怎么办？曲线跟直线不同，它完全可以在这里平缓一点，在那里陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以，我们就不能说一条曲线的倾斜程度（“斜率”），而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。

于是，我们就需要引入一个新的概念：切线。

切线，直观地看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线。因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。

传统上我们可以这样定义切线：先随便画一个直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线（仿佛把曲线“割断”了，如下图蓝色的AB）。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。

这样做很符合人们的直觉，但是它在逻辑上会有一点问题：当B点向A点移时，它是什么时候从割线变成切线的？

重合的时候么？如果B点和A点重合，那就最后只剩下一个点了，我们知道“两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢？但是，如果B点和A点不重合的话，那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。

于是，这样就出现了一个“一看非常简单直观，但是怎么说都说不圆”的情况，似乎两个点不行，一个点也不行，怎么办？

解决这个问题有一个很朴素的思路：要确定这条切线，让A、B两点重合是不行的，但是让它们分得太开也不行。最好就是让这两点靠近靠近无限靠近，但是就是不让它们重合。没重合的话就依然是两个点，两个点可以确定一条直线；无限靠近的话又可以把它跟一般的割线区分开来，这样不就两全其美了么？

也就是说，A、B两点必须无限靠近但又不能重合，这样它们的距离就无限接近0但又不等于0。这是什么？这不就又是无穷小么？

我们前面求曲线围成的面积的时候，核心思想就是用无数个矩形去逼近原图形，这样每个矩形的底就变成了无穷小。在这里，我们又认为当A、B两点的距离变成无穷小的时候，割线AB就变成了过A点的切线，是不是有点巧？它们之间的共性，大家可以好好体会一下~

未完待续～

下一讲引入微分的概念