概率学和数学思维（学数学要注意什么）

有朋友说没听懂我的视频

为啥你总觉得答案只有一个？学点概率论，逃离思维的陷阱！

现在做点补充，希望能帮到更多的朋友。这个视频讲的是概率中非常有名的“贝特朗悖论”，是法国数学家、经济学家贝特朗十九世纪末提出的一个概率问题：

圆的弦长大于其内接正三角形边长的概率是多少？

贝特朗悖论

经典解法有三种。

解法一、让弦的一端是内接正三角形的一个顶点。于是，只有当弦的另一端落在对边对应的1/3圆周上，它长比边长更大，所以所求概率为三分之一。

固定弦的一个端点，其长由另一个端点的位置决定

解法二、 作垂直于弦的直径，只有交直径于中间二分之一的弦, 其长才大于边长，所以所求概率为二分之一。

弦与垂直直径的交点位置决定弦的长短

解法三、考虑弦的中点。只有中点落在半径缩小一半的同心圆内的弦, 其长才大于边长，所以所求概率为四分之一。

弦的中点位置决定弦的长短

三种解法产生三种不同的概率，我们当然会认为至少有两种是错的。因为中学概率是所谓古典模型，这种模型对掷骰子之类简单问题较为有效，而对与无限有关的问题经常失效，贝特朗悖论恰好是其失效的著名例子。

贝特朗悖论的上述三种解法实际上是为“弦”这个概念建立了三个不同的概率模型，所以得出三个不同答案并不奇怪。这三个模型都能够自圆其说，因此都是合理的数学模型，所以三种答案都是对贝特朗悖论的合理解释。

2014年，意大利数学家雅茨(Aerts)和毕安琪(Bianchi)证明，对闭区间[0, 1]中的任何数p，都存在合理的数学模型，使得贝特朗悖论的答案是p！

这是什么意思？

取p=0，则“几乎所有弦的长度都小于正三角形边长”！

取p=1， 则“几乎所有弦的长度都大于正三角形边长”！

贝特朗悖论表明，概率理论本身也只是一种数学模型，远非真理！

需要提醒的是，国内不少担当意识薄弱的低级别刊物发表了不少滥竽充数的贝特朗悖论的所谓论文，其论证方法和结论极易使大中学生误入歧途，朋友们务必提高警惕。