怎样确定线和圆的位置关系（避开切线判定的小陷阱关键在于深刻理解直线与圆的位置关系）

避开切线判定的小陷阱关键在于深刻理解直线与圆的位置关系

在直线与圆的三种位置关系中，直线与圆相切经常出现在压轴题的证明过程中，由于平时教学过程中，相关例题和习题的难度普遍较低，许多学生便认为自己“掌握”了切线的判定，殊不知，题目文字描述稍加变动，理解不够深的就容易出现偏差，落入题目设置的陷阱，恰恰那些自以为掌握了的学生，连错误都发现不了，更谈不上正确解答，甚至在老师讲完题目，脑子里都没回过神。

题目

如图，抛物线y=(x m)² m与直线y=-x交于E、C两点(点E在点C左边)，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，△ABC的外接圆⊙H与直线y=-x交于点D。

(1)若抛物线与y轴交点为(0,2)，求m的值；

(2)求证：⊙H与直线y=1相切；

(3)若DE=2EC，求⊙H的半径。

解析：

(1)从来感觉第1小题就是送分题，貌似这次也是，且慢！前方有坑。基本操作是将点坐标(0,2)代入二次函数解析式，然后得到一个于关于m的一元二次方程，解得m1=1,m2=-2，到底取哪个？再次观察题目条件和图形，接下来两条路可选，第一，看抛物线，要想它与x有两个交点，由于它本身开口向上，因此顶点必须在x轴下方，二次函数本身就给的是顶点式，可直接得到顶点坐标(-m,m)，所以判断m=-2；第二，抛物线与x轴有两个交点，还能联想到判别式，将函数解析式化成一般式，求△同样达到目的。

(2)判断直线与圆的位置关系，按定义，分别求出圆心到直线的距离d和半径r，然后比较二者大小即可。基于这个思路，我们可作出抛物线的对称轴，猜测点C、H应该在这条直线上。下面来验证，如下图：

辅助线的作法很关键，但先要解决一个问题，即点C是否为抛物线顶点，题目条件中只告知点C是直线与抛物线的交点，由这句话出发，联立方程(x m)² m=-x，整理得x² (2m 1)x m(m 1)=0，解得x1=-m，x2=-m-1，由点E、C的位置关系可知两点坐标分别为E(-m-1,m 1)，C(-m,m)，于是确定点C为抛物线顶点。现在过点C作CF⊥AB，根据作法，CF一定是抛物线对称轴，△ABC为等腰三角形，接着解决点H是否在CF上的问题，点H为圆心，点A、B在圆上，因此点H到A、B两点的距离相等，即点H在AB的垂直平分线上，即H在CF上，CF与y=1交于点F，此时圆心到直线y=1的距离即为HF，半径为CH，现在目标明确，证明CH=HF即可。

设CH=AH=r，HF=d，由点C坐标先表示CF=1-m，则d=1-m-r

，GH=-m-r，抛物线与x轴两个交点A、B坐标可表示，并求得AB=2√-m，于是在Rt△AGH中，由勾股定理列式AH²=GH² AG²，将上述表示出的结果代入，得r²=(-m-r)² (√-m)²，整理得m=1-2r，再代入距离d中，得d=1-(1-2r)-r=r，由此可知⊙H与直线y=1相切。

(3)直线y=-x的特殊之处在于，它与抛物线对称轴的夹角为45°，于是可以构造出等腰直角三角形，例如△CDF，而在上一小题中，我们可知CF为直径，即点H为CF中点，于是DH为其斜边上的中线，又是三线合一，因此DH⊥CF，上述准备工作完成后，我们来看条件DE=2EC，在第2小题中，我们已经获得E点和C点坐标，于是过点E也向CF作垂线EM，如下图：

现在我们得到等腰直角△CEM和等腰直角△CDH，由纵坐标之差为1得到CM=1，于是CE=√2，DE=2√2，所以CD=3√2，最后得到CH=3，即半径为3.

解题反思

关于直线与圆相切的判定，其实最根本的莫过于用定义来判定，即d=r，在题目图中并没有给出点F的前提下，学生思维很容易陷入那儿就有一个交点，更进一步那个交点就是切点，先入为主地把点F给确定了，因此很多错误在于“连接CF，使CF与y=1垂直”，或者“作y=1的垂线CF，且点F刚好在圆上”，呈现出思维上的混乱。而本题中，还存在更多干扰，例如点C是否为顶点，圆心H是否在对称轴上等等，一个不留神，这些陷阱便会导致解题错误。因此对于平时教学来讲，概念和定义的教学一定要让学生深刻理解，经历概念形成的过程，才能真正理解。在这种课型中，避免“短平快”式的教学方式。