逆矩阵求解方程组（同余方程欧拉函数）

上篇简单介绍了一下仿射密码：仿射密码的加密与解密 ，很多东西都没有深入去挖掘，这次上完课后对实现它的一些概念公式又有了一个更深的认识。

首先介绍几个概念：

0. 定义在Zm上的矩阵求逆

设矩阵是定义在Zm上的矩阵,

举个例子：

这其中，9 关于模26 的乘法逆元为3.

1.模同余

模同余：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

例如：

3被2除 余1

5被2除 余1

3，5 被2除有相同的余数

所以 3 同余 5 模 1 ，记做：3 ≡ 5 (mod 1)

其中定义群Zm = {0, 1, 2, ..., m-1}

证明：

必要性：

若a和b除以m留下相同的余数r，

a=q1m r , b=q2m r ，q1和q2为某两个整数

所以a-b=(q1m r)-(q2m-r)=m(q1-q2)

根据整除定义:(a-b)/m = (q1-q2)，整数相减还是整数，由同余式定义得出结论：a≡b(mod m)

充分性：

假定（其中r1和r1小于m，q1和q2为整数）

a = q1*m r1 , b = q2*m r2

则: a-b = (q1-q2)*m (r1-r2)

因为，则r1-r2=0，即r1=r2

2.一次同余方程唯一解定理

设 a ∈ Zm ,对任意的 b ∈ Zm，同余方程 **ax ≡ b (mod m)** 有唯一解 x ∈ Zm 的充分必要条件是：

gcd(a, m) = 1 (表示a和m的最大公约数等于1)

证明如下：

3.欧拉函数和欧拉定理

设a ≥ 1，m ≥ 2, 如果gcd(a, m) = 1,则称a与m **互素**，Zm中所有与m互素元素的个数用φ(m)来表示（函数φ称为欧拉函数）

例如φ(10) = 4，因为1,3,7,9均和10互质。

计算方法：

1.先化为标准分解式形式：

example

2.再依照下式规则计算

这其中 {1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35} 与36 互质，共计12 个

4.乘法逆元

乘法逆元求解：

1.遍历，参考上一篇 仿射密码的加密与解密

2.拓展欧几里得：

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