数学家恋爱技巧 数学家的相亲模式

►相亲犯难？

编者按：

苏格拉底和柏拉图的爱情观被世人广为流传，但其中的哲学意味却总会让人有些摸不着头脑，毕竟，并不是每一位平凡的下里巴人都能欣赏哲学家们的阳春白雪……

此次，我们奉上一则相亲实用宝典，借“傻（数学）博士”相亲的故事告诉你，如何从概率与统计的角度去相亲！

嗯，首先你要找到100位相亲对象……

撰文 | 张天蓉 （美国德州大学奥斯汀分校理论物理博士）

责编 | 吕浩然

知识分子为更好的智趣生活 ID：The-Intellectual

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苏格拉底和他的学生柏拉图都是古希腊著名的哲学家。

一天，柏拉图问苏格拉底：什么是爱情？苏格拉底让他到麦田走一趟，目标是要摘回一棵最大最好的麦穗，但只可以摘一次，并且不许回头，路径不能重复。柏拉图本以为很容易，但最后却空手而归，原因是他在途中虽然看到很不错的麦穗，却总希望后面有更好的，最终致使他错失所有的良机。苏格拉底告诉他：这就是爱情！

►图1：傻博士相亲的最佳策略

根据图1所示可以总结出傻博士“最佳策略”的基本思想：对开始的（r-1）个面试者，答复都是“不喜欢”，等于是“忽略”掉了这些佳丽；直到第r位佳丽开始，才认真考虑和比较，如果从r开始面试到第i个人的时候，觉得这是一个比前面的人都要更中意的，便答复说“喜欢”，从而停止这场相亲。

图1中还标出了一个“临时最佳者”，这和实际上隐藏着的排行榜中的“#1”可能是不同的。“临时最佳者”指的是傻博士一个一个相亲之后到达某个时刻所看到的最好的佳丽，是随着傻博士已经面试过的人数的增加而变化的。

被“忽略”的选项Ignore

这个“最佳策略”当中其实还有一个问题：对100位佳丽而言，到底前面应该“忽略”掉多少个人，才是最佳的呢？也就是说，对n个相亲对象而言，r应该等于多少，才能使得最终被选定的那位佳丽是“#1”的几率最大？

r太小了当然不好。如果令r=2，也就是只忽略第一个，如果第二个比第一个好的话，就定下了第二个，当然也可能继续下去，但很有可能使你的决定下得太快了，似乎还没有真正开始相亲，就草草结束了；r太大显然也不行。如果令r=99，则忽略的人数将会太多，“#1” 被忽略掉的可能性也非常大。结果是相了这么多人，傻博士累得半死，选中“#1”的几率只是大约2/100而已。

也许，应该忽略掉一半，从中点开始考察？也许，r应符合黄金分割原则：0.618？也许与另外某个知名的数学常数（π或e）有关？然而，这都是一些缺乏论据的主观猜测，傻博士是数学家，还是让数学来说话吧。

我们首先粗糙地考察一下，如果使用这种方法，对某个给定的r，应该如何估算最后选中“#1”的几率P(r)。

对于给定的r，忽略了前面的r-1位佳丽之后，从第r个到第n个佳丽都有被选中的可能性。因此，在图1下方的公式中，这个总概率P(r)被表示成所有的P(i)之和。其中，i是在r到n之间逐一变化的，而P(i)则是选中第i位佳丽的可能性（概率）乘以这个佳丽是“#1”的可能性。

选中第i位佳丽的可能性是多少？取决于第i位佳丽被选中的条件，即当且仅当第i位佳丽比前面i-1位都要更好，而且前面的人尚未被选中的情形下才会发生。也可以说，第i位佳丽被选中即表示当且仅当第i位佳丽比之前的“临时最佳者”更好，并且这个临时最佳者是在最开始被忽略的r-1位佳丽之中。因为如果这个临时最佳者是在从r到i之间的话，她面试后就应该被选中了，然后就停止了整个相亲过程，不会进行到第i位佳丽。

此外，第i位佳丽是“#1”的可能性又是多少？实际上，按照等概率原理，每位佳丽是“#1”的可能性是一样的，都是1/n。因此根据上面的分析，我们便得到了图1所示的选中“#1”的概率公式。

从公式可知，傻博士选中“#1”的概率是对“忽略点”r的函数。读者不妨试试在公式中代入不同的n及不同r的数值，可以得到相应情况下的Pn(r)。比如说，我们前面所举的当n=100时候的两种情形：P100(2)大约等于6/100；P100 (99)大约等于2/100。

应该“卡”住多少位佳丽？How many

下面问题就是要解决：r取什么数值，才能使得Pn (r)最大？如果我们按照图1的公式可以计算出当n=100时，不同r所对应的概率数值，比如令r分别为2、8、12、22……等等，将计算结果画在Pn (r)图上，如图2a所示。我们可以将这些离散点连接起来成为一条连续曲线，然后估计出最大值出现在哪一个r点。这是求得P(r)最大值的一种实验方法。

►图2：相亲问题中n=100时的概率曲线

然而，我们更感兴趣从理论上分析更为一般的问题，那就要用到微积分了。在普通微积分里，最基本的理论基础是“收敛”和“极限”的概念，所有其它的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机过程的微积分，在数学家们建立了基于实分析和测度论的概率论体系之后，就可以像当初发展普通微积分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。

与普通数学分析不同的是，现在我们打交道的是随机变量，比之前普通的变量要复杂得多，相应建立起来的“收敛”和“极限”的概念也要复杂得多。

在随机微积分中的积分变量是随机过程（比如说无规行走）。无规行走是针对时间的一个函数，但是却有一个特殊的性质：处处连续但处处不可导。正是这个特殊的性质使得随机微积分与普通微积分大不相同。

随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量W(t)。所以，进行随机微积分时，如果碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，而碰到跟W(t)有关的部分时就使用随机微积分的法则。

落实到傻博士相亲问题上，首先，我们需要想办法将Pn (r)变成r的连续函数，因为只有对连续函数，才能应用微积分。为了达到这个目的，我们分别用连续变量x=r/n、t=i/n来替代原来公式中的离散变量r和i。此外，最好使研究的问题与n无关。因此，我们考虑n比较大的情形。n趋近于无穷大时，1/n是无穷小量，可用微分量dt表示，而公式中的求和则用积分代替。如此一来，图1中P(r)的表达式对应于连续函数P(x)：

►公式（1）

图2b显示的是连续函数P(x) = - x ln x的曲线，此处的log和ln都表示自然对数，即以欧拉常数e（约为0.5772）为基底的对数函数。图中可见，函数在位于x等于0.4左右的地方，有一个极大值。

从微积分学的角度看，极大值所在的点，是函数的导数为零的点，函数在这个点具有水平的切线。但是导数为零，不一定对应的都是函数的极大值，而是有三种不同的情况：极大、极小及驻点。用该点二阶导数的符号，可以区别这三种情形，见图3。

►图3：函数的极值处导数为零

所以，令公式（1）对x的导数为零，便能得到函数的极值点：x =1/e = 0.36。这个点概率函数P(x)的值也等于1/e，大约为0.36。

将上面的数值用于傻博士的相亲问题。当n=100的时候，得到r=36。也就是说，在傻博士的相亲过程中，他首先应忽略前面的35位佳丽。然后，从第36位佳丽开始，便要开始认真比较啦，只要看见第一个优于前面所有人的面试者，便选定她！利用这样的策略，傻博士选到“#1”的可能性是36%，大于三分之一。这个几率比起前面所举的几种情况的概率：1/100、6/100等要大的多。

换一种思路Two choices

相亲问题的策略还可以因不同情况有不同的修改。比如说，也许傻博士会换另一种思路考虑这个问题：为什么一定只考虑“#1”的概率呢？实际上，“#2”也不一定比“#1”差多少啊！于是，他便将他原来的方法进行了一点点修改。

他一开始的策略和原来一样，首先忽略掉r-1个应试者。然后从第r个应试者开始考察、比较、挑选，等候出现比之前应试者都好的“临时第一名”。不过，在第r个人之后，如果这个“临时第一名”久不露面的话，傻博士便设置了另外一个数字s，即从第s个应试者开始，既考虑“#1”，也考虑“#2”。

我们仍然可以使用与选择第一佳丽的策略时所用的类似的分析方法，首先推导出用此策略选出“#1”或“#2”的离散形式的概率P(r,s) [2]。这时候的概率是两个变量r和s的函数。然后，再利用之前的方法，将这个概率函数写成一个两个变量的连续函数。为此，我们假设从离散变量r、s到连续变量x、y的变换公式为：

►公式（2）

然后，考虑n趋近于无穷大的情形，可以得到相应的连续概率函数为：

►公式（3，上）与公式（4）

公式（3）是一个两个变量的函数，其函数随x和y的变化可用一个3维空间中的2维曲面表示，如图4所示。这个函数的极值可以令P(x,y)对x和y的偏导数为0，见公式（4）。解出上面的方程便能得到这种新策略下相亲问题的解：当x = 0.347，y = 0.667时，概率函数P(x,y)有极大值，等于0.574。

►图4：2维概率分布函数

将上面的数值应用到傻博士相亲的具体情况，即n=100时，可以得到r=35，s=67，以上的r和s是四舍五入的结果，因为它们必须是整数。因此，傻博士如果采取这种“选择#1或#2”的策略，他成功的几率大约是57%，比“仅选择#1”的成功的几率（36%）又高出了许多。

这个结果也充分体现了数学的威力！

参考文献：

[1] Freeman, P.R. (1983). "The secretary problem and its extensions: A review".[J], International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique. 51 (2): 189–206.

[2] S. M. Gusein-Zade, “The problem of choice and the optimal stopping rule for a sequence of random trials”, [J], Teor. Veroyatnost. i Primenen., 11:3 (1966), 534–537

制版编辑：吕浩然丨

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