工程制图第一章（工程制图的基本知识）

第三节 几何作图

一、等分圆周和作正多边形

1. 用三角板与丁字尺配合作正六边形

(1) 三角板与丁字尺配合作正三边形

（2）用三角板与丁字尺配合作正六边形

2. 用圆规作圆的内接正三（六）边形

① 以圆的直径端点F为圆心，已知圆的半径R为半径画弧，与圆相交于B、C。

② 依次连接A、B、C，即得到圆的内接正三边形。

③ 再以圆的直径端点A为圆心，已知圆的半径R为半径画弧，与圆相交于D、E。

④ 依次连接A、E、B、F、C、D、A，即得到圆的内接正六边形。

3. 用圆规作圆的内接正五边形

① 在已知圆中取半径OM的中点F

② 在已知圆中取半径OM的中点F

③ AG即为五边形的边长（近似）

④ 以AG为半径，依次在圆周上截得五等分即为所求

圆的任意等分可利用弦长表，计算出每一等分所对应的弦长，用分规直接作图

【例1-3】 已知圆的直径为φ50，试作圆的内接正九边形。

① 圆的等分数n=9，在表1-9中查得弦长L9=0.342d。

② 计算弦长：L9=0.342×50=17.1。

③ 画直径为φ50的圆，用弦长L9=17.1在该圆上依次截取九个等分点，再依次连接九个等分点即可。

二、圆弧连接

用一圆弧光滑地连接相邻两线段（直线或圆弧）的作图方法，称为圆弧连接。

1．圆与直线相切的作图原理

① 连接弧的圆心轨迹是已知直线的平行线，两平行线之间的距离等于连接弧的半径R 。

② 由圆心向已知直线作垂线，垂足即为切点

2．圆与圆相切的作图原理

（1）圆与圆外切

① 连接弧的圆心轨迹是已知圆弧的同心圆，同心圆的半径等于两圆弧半径之和（R1 R）。

② 两圆心的连线与已知圆弧的交点即为切点。

（2）圆与圆内切

① 连接弧的圆心轨迹是已知圆弧的同心圆，同心圆的半径等于两圆弧半径之差｜R1－R ｜。

② 两圆心连线的延长线与已知圆弧的交点即为切点。

3．圆弧连接的作图步骤

用圆弧连接钝角的两边

已知条件和作图要求

作图步骤：

（1）作已知直线的平行线，求连接圆弧的圆心 。

（2）过圆心作已知直线的垂线，求切点。

（3）在切点之间画连接弧

用圆弧连接锐角的两边

已知条件和作图要求

作图步骤：

（1）作已知直线的平行线，求连接圆弧的圆心。

（2）过圆心作已知直线的垂线，求切点。

（3）在切点之间画连接弧。

用半径为R的圆弧连接直线和圆弧

已知条件和作图要求

作图步骤：

（1）作平行线和同心圆求连接弧圆心。

（2）作垂线和连心线，求切点。

（3）在切点之间画连接弧。

用半径为R的圆弧与两已知圆弧外切

已知条件和作图要求

作图步骤：

（1）分别作同心圆，求连接弧圆心。

（2）分别作连心线，求切点。

（3）在切点之间画连接弧。

用半径为R的圆弧与两已知圆弧内切

已知条件和作图要求

作图步骤：

（1）分别作同心圆，求连接弧圆心。

（2）分别作连心线，求切点。

（3）在切点之间画连接弧。

用半径为R的圆弧与两已知圆弧混合连接

已知条件和作图要求

作图步骤：

（1）分别作同心圆，求连接弧圆心。

（2）分别作连心线，求切点。

（3）在切点之间连接圆弧。

三、作圆弧的切线

零件的平面轮廓常有直线光滑地与圆弧相切。作直线与圆弧相切时，通常借助圆规、三角板作图，求出其切点。

【例】 已知圆上一点A，过A 作该圆的切线

作图步骤

① 连接圆心O和切点A，作OA的垂直平分线，得B、C 两点。

②以B为圆心、BO为半径画半圆，交OB的延长线于点D。

③ 连接A、D两点，AD 即为所求的切线。

【例】 过圆外一点A 作已知圆的切线

作图步骤

① 作点A与圆心的连线，求出OA的中点O1

② 以O1 为圆心、OO1为半径画弧，与已知圆相交于点C1、C2

③ 分别连接点A、C1和点A、C2，即为所求的切线

【例】 已知两圆O1、O2，利用圆规求作同侧公切线。

作图步骤

① 以O2为圆心，R2-R1为半径画辅助圆，过O1作辅助圆的切线O1A

② 连接O2A并延长，使与O2圆交于B

③ 作O1C//O2B，连接BC即为所求的公切线

【例】 已知两圆O1、O2，利用圆规求作异侧公切线

作图步骤

① 以O1O2为直径（半径为R）画辅助圆；以R1 R2为半径画弧，与辅助圆相交于点K。

② 连接O2K与O2圆交于C2。

③ 作O1C//O2C2，连接C1C2即为所求的公切线。

四、平面图形的画法

平面图形都是由一些直线、弧线、曲线等通过尺寸与连接关系确定的。

在平面图形中，有些线段可以根据给定的尺寸直接画出；而有些线段则需要利用线段连接关系，找出潜在的补充条件才能画出。

要处理好这方面的问题，就必须首先对平面图形中各尺寸的作用，各线段的性质，以及它们间的相互关系进行分析，在此基础上才能确定正确的画图步骤，并正确、完整的标注尺寸。

1、平面图形的尺寸分析

1）定形尺寸

决定平面图形形状和大小的尺寸称为定形尺寸。如圆的直径、圆弧半径、多边形边长、角度大小等均属定形尺寸。如15、R12、R15、Ф20、Ф5、R50、R10均为定形尺寸。

2）定位尺寸

决定平面图形中各组成部分与尺寸基准之间相对位置的尺寸，称为定位尺寸。如圆心、封闭线框、线段等在平面图形中的位置尺寸。如8、75、15等均为定位尺寸。标注定位尺寸时必须与尺寸基准（坐标轴）相联系。⁂⁂注意：有的尺寸，既是定形尺寸，又是定位尺寸。

2、平面图形的线段分析

1）已知弧

半径尺寸和圆心位置（两个坐标方向）尺寸已知的圆弧为已知弧。

2）中间弧

半径尺寸和圆心的一个坐标方向的位置尺寸已知的圆弧为中间弧。

3）连接圆弧

圆弧半径尺寸已知，无圆心坐标的圆弧为连接弧。

连接弧缺少圆心坐标两个尺寸，必须利用与其相邻的两几何关系才能定出圆心位置。

3、平面图形的作图步骤

4、平面图形的尺寸标注

标注尺寸要符合国家标准规定，尺寸不出现重复和遗漏，尺寸要安排有序，布局整齐，注号清楚。

1）确定尺寸基准：在水平方向和铅垂方向各选一条直线作为尺寸基准。

2）确定图形中各线段的性质，确定出已知线段、中间线段和连接线段。

3）按确定的已知线段、中间线段和连接线段的顺序逐个标注出各线段的定形和定位尺寸。

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