乘法知识图谱（带您了解不一样的乘法）

　　带您了解不一样的乘法

　　2018年8月2日星期四

　　现在的小朋友和乘法初次见面是这样的情景：

人教版二年级数学上册47页

　　有许多熟悉的生活实例和一句关键的话语：“这种加数相同的加法，还可以用乘法表示。”从那时起，那个长得和“X”、老师判的错号极像的乘号“×”，便开始了和我们的“长相厮守”。需要弄清楚的是，那位乘号“太老爷”已经快400岁了，和它在一起，总归要“毕恭毕敬”的。

人教版二年级数学上册51页

　　把加号斜过来记作乘号，这种符号的形式变迁形象地说明着乘法的渊源和来头。乘法就是一种特殊的加法，一种长得很规矩的加法，比如：

　　3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＝3×9或9×3

　　如果您觉得它们是在排队——排长队的话，它们的要求很严：比如必须是二年级的男生，没有相同的属性的话，是不会要的。

　　您一定会认同：加法比乘法更古老，加法的“辈分”比乘法更大。“我们学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算”，您可曾想过给它们排排“族谱”，让我们更清楚地知晓它们“长幼有序”？大约距离我们与乘法的初次见面两三年后，四年级数学下册对“四则运算”进行了一次集中深入“摸排”：

人教版四年级数学下册2、3、5页

　　您如果仔细琢磨字里行间的意思，也会画出它们的传承简谱：

　　用我们喜闻乐见的话说就是——这四位“哥们”的排行是：加法老大、减法老二、乘法老三、除法老四。这个简易的“族谱”在数学发展的逻辑上是自洽的。但是如果从历史“考证”的角度出发，则又值得商榷。有人就“固执”、“另辟蹊径”地认为：除法的产生早于乘法，因为古人在广阔的生活、生产实践中较早地、大量地产生了“平均分物”的需求。这种观点似乎天然地可以将“除法的产生”与“分数的产生”联系起来，我甚至怀疑这是在用“数的概念”将一种“运算”偷梁换柱！但我也是纸上谈兵，无力证伪！确定的是：除号（÷）比乘号（×）小28岁。

人教版二年级数学下册17页

　　我们对乘法的学习，从逻辑上应当经历以下3个阶段：

　　①一位数乘一位数；

　　②多位数乘一位数；

　　③多位数乘多位数。

　　现实是，自打二年级数学上册“初见”乘法，直至四年级数学下册总结“自然数的乘法”，前后6本教材中，我们经历了：表内乘法、多位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数4个阶段，运算定律、四则混合运算的学习还排除在外。这是为什么呢？为何不是恰如其分的3个阶段，抑或5个、6个……更多阶段，比如再来一些“三位数乘三位数”、“四位数乘三位数”……这样简单的无脑推导和延伸？

　　真知灼见仿佛酷爱隐藏在平淡无奇的地方。“两位数乘两位数”的学习，从掌握乘法的算法、理解乘法的算理的角度而言，已然达到了“最高境界”。学习诚如修炼！这让我情不自禁地想起了“张无忌将九阳神功修炼到第九重”时的激动情形，那位苦命的孩子终于拥有了翻盘人生的能力，绝处逢生！每个人心中都有一个武侠梦——那种压缩时空，分外戏剧化的情节，让我们充满了强烈的幻想和无比的向往。数学学习的道路并非坦途。学习的动力和乐趣，也存在于我们是否乐于主动探究更多的秘密，是否善于挖掘并享受每一滴成功的喜悦。学习乘法的修行，在三年级便已臻完美。四年级数学上册的“三位数乘两位数”只是由于结果突破了万位，为了配合“大数的认识”、“除数是两位数的除法”的学习，而后续展开的复习巩固。乘法的算法与算理已然不是重点，更多的是着力在“乘法的规律”和“常见的乘除法数量关系”上。

人教版四年级数学上册23页

　　从四年级数学上册的“计算工具的认识”章节内容来看，对于所谓“三位数乘三位数”、“四位数乘三位数”……的问题，教材似乎做出了无言的回答：数据大就用工具算呗，别费劲了！有时，我们还真是不得不佩服编者的智慧和精心设计。

　　对于笔算乘法，真正弄明白例如：13×23这样的乘法，就已经接近完美了！当然，在“两位数乘两位数”的集合中，13×23并不算困难的。两位数从10到99共有90个，两位数乘两位数的集合中共有90×90＝8100个元素（每个元素就是一道两位数乘两位数的乘法）。什么是“难”的？我们给出两个标准：一是计算过程中要有进位，甚至是连续进位；一是积是四位数。显然，13×23＝299都不满足这两条。更一般地：一个m位自然数乘以一个n位自然数，它们的积不是m＋n－1位，就是m＋n位。如果其中一个自然数可以为0，则这个结论不再成立。这或许也可以从另一个角度说明：最小的一位数是1而不是0——这个结论是低年级数学教师的一个共识。联系这个关于“乘积位数”的一般结论，它是如此的合理，每一滴的做法，每一毫的细节，都在驱使我们的数学理论逼近完美！

　　（重要程度★★★★）

　　您一定想到了用“乘法竖式”计算13×23，但我们是如何走到这一步的？我们曾经都经历了什么？

　　首先是一位数乘一位数，也就是表内乘法。这个集合共有9×9＝81个元素，可以组成“大九九乘法表”。但由于自然数乘法满足交换律：a×b＝b×a，举例就是：3×4＝4×3，所以乘法表被简化成了我们熟悉的“小九九乘法表”（形容一个人会算计，我们常用“小九九”，这或许就是来源），共有45句。它们奠定了乘法大厦的坚实基础。这一定也会成为我们发现“乘法交换律”的实际作用的一个重要例证，因为，想必您和我一样，也曾认为“3×4＝4×3”是一条极为“白痴”的数学定律。然而，当一个运算系统中，运算对象或定义其上的运算发生改变时，乘法交换律并不见得一定能被继承，比如：矩阵的乘法就不满足交换律，但可以满足结合律……我们认为简单，往往是由于我们简单；我们认为“白痴”，往往是由于我们白痴！这大抵如同：“我看青山多妩媚，料青山看我亦如是”。

　　有人曾经抛出一段论调：中国的孩子笔算能力强，得益于用汉语表达的乘法口诀是如此地简洁整齐、朗朗上口。我不懂得外语是如何表达乘法口诀的，或者外国人到底有没有乘法口诀？在我的学习经历中，所谓“笔算能力强”从未让我产生过自豪。我们这些徘徊在义务教育数学教材中的凡人，甚至再将高中、大学数学教材中的一部分扯进来，映入眼帘的满是国外的数学大神，尤其是近代欧洲（17、18世纪左右），如：高斯、牛顿、欧拉、黎曼、笛卡尔、莱布尼茨、费马、阿贝尔、伽罗瓦、拉格朗日、泊松……简直是群星璀璨，亮瞎双眼！我们大多数人穷尽半生努力，甚至都不能触碰他们的思维高度！而我们的“九九乘法歌诀”却早在2000多年前的春秋战国时期就已经流行开了。坚信这种“笔算优越”的论调，并不能增强我们的民族自豪感。让我们更多的中国数学大家的名字进入教材，让我们更多的中国学子坚持到发现中国数学家的成就的阶段，才是值得自豪的事情。我曾在粗浅的数学阅读中，得出一个不太准确但让我印象深刻的结论：我们100%达到高中数学的结业要求后，我们12年的数学努力也只能使我们达到大约400年前欧洲数学的水平。我这个粗妄的结论只是基于：1671年英国的牛顿写了《流数术和无穷级数》，1684年德国的莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，标志着“微积分”的系统创立。从高中仅对“微积分”作入门铺垫，我得出此结论。纵使现当代中国数学家杰出蓬勃，我们大多数人要接触他们的成就，也很遥远。在兴趣的引领下，坚定地快乐前行，或许是数学学习永恒的最佳状态。

　　（重要程度★★★★）

　　9的乘法口诀就是如此地充满趣味：

　　积的个位数字倒着排：9→0，十位数字正着排：0→9。还可以用双手来完成：

人教版二年级数学上册83页

　　如果您对此毫无感觉，我只想引用一句话：世界上并不缺乏美，缺乏的只是发现美的眼睛。眼能视物，发现靠心。再来看一看9的乘法的推广：

　　您是否有一丝的感叹这种极其规整的形式美？

　　有了强大、便捷的“汉语乘法口诀”，我们便可以勇敢地进行“乘法之旅”了。为此，我们要做一些必要的“旅行准备”。

　　牢记化归的思想。乘法之旅中我们会遇到多位数乘一位数，多位数乘多位数，甚至是之后的小数乘法。应对它们，有一个共同的思路，就是转化为表内乘法。这种化未知为已知，化难为易，化繁为简的思想，叫做“化归”。有了这种思想，我们可以抓住事物的本质，以不变应万变，有如胁生两翼，轻松及远。

　　掌握搭配的技巧。如同3件上装、2件下装，一共有3×2＝6种搭配，一个m位数乘以一个n位数，可以搭配出mn个表内乘法。

人教版三年级数学下册102页

　　将上装换成一个因数123，将下装换成另一个因数45，则有以下搭配：

　　理解整十、整百……数的乘法。20×30可以理解为：2个十×30，积的单位是“十”；2×30可以理解为：2×3个十，得6个十，也就是60；故而20×30的结果是：60个十，也就是600。这些啰嗦地分析并不是目的，我们要得出便捷地“划0、补0”的计算方法：

　　这说明：两位的整十数、三位的整百数、四位的整千数……的乘法，在本质上仍然是“表内乘法”，只是“计数单位”有所不同，从技巧上，我们需要处理的只是0的问题。

　　回到前文谈到的13×23，我们可以将其分解为：

　　①个位乘个位：3×3＝9

　　②个位乘十位：3×10＝30

　　③十位乘个位：20×3＝60

　　④十位乘十位：20×10＝200

　　然后合起来：9＋30＋60＋200＝299

　　所谓乘法的算理，就是6个字：分开乘，合起来。

　　（重要程度★★★★★）

　　算法是算理的具体实现。在乘法的具体表现方式上，可谓五花八门，精彩纷呈。

　　（一）最经济实用的乘法

　　这就是现在被我们广为使用的乘法竖式。它以极简的方式勾勒出了“分开乘，合起来”的乘法算理，简便、高效。特点是：自下而上，从低位向高位乘，符合向“高一位”进位的顺序。您可以尝试一下反方向“从高位到低位”展开乘法，您会发现：在纸上反复涂改已经写出的数字的确很不方便。但是在珠算乘法中，有种叫做“空盘前乘法”的方法，却是将乘法从高位到低位依次展开的，因为活动的算珠可以自由改动。

　　我曾见过自上而下展开的竖式乘法：

　　它的特点是：乘法的出发点不再是第二个因数的个位，而是第一个因数的个位。虽然结果正确，但不符合约定俗成。

　　更奇葩一点是：

　　换个例子或许更明显：

　　这种方法将“出发点”因数1234按从高位到低位的顺序处理，使得中间的“梯级”朝反方向倾斜了，对吧？但这仍旧不同于珠算中的“空盘前乘法”：

　　空盘前乘法中“从高到低”的顺序是完全针对两个因数的，而不单是针对“出发点”因数的！这一点，您或许得好好想想，乘法的不同顺序组合起来还是很多的，上面只是讨论了几种典型情况，不排除还有其他更多大放异彩的方法。

　　（二）最好玩的乘法

　　您见过13×23可以这样做吗？

　　用画直线代替数字，用横线表示一个因数，用纵线表示另一个因数，数字间使用大间隔，同一数字的直线使用小间隔，用交点数表示每一步的乘积，自左上、左下、右下逆时针旋转半圆取得结果……还真是会玩！您看明白了吗？这让我想起了我国古代的数字：

人教版一年级数学上册60页

　　我们的古人用算筹拼摆记数，进行乘法，下图是49×36的计算示意：

　　算法大致同“空盘前乘法”。上下摆因数，中间摆结果。遵循两个因数从高位到低位的计算顺序。古人随身携有算袋（或叫算子筒），用来装算筹。5以后的数字不再无脑叠加摆放，而采用“变式”，这种做法就如同算盘中的上珠和下珠，想来也是为了节约算筹，不使算袋过重啊！此例中，数字1～5混用“横式”和“纵式”，我感觉也是要醉了！

　　（三）最漂亮的乘法

人教版四年级数学上册48页

　　这种“格子乘法”，传入中国后，在明朝数学家程大位的《算法统综》中被称为“铺地锦”。它的展开形状就像锦锻上的花纹一样漂亮。让我们也尝试着做一做13×23：

　　您会发现：它的一个因数从左到右写在上面，另一个因数从上到下写在右面；它的计算过程为“横纵相乘”，类似于直角坐标系中的取点方法；它完全无视“从低到高”、“自下而上”这些乘法的计算顺序，非常任性！只是画格子略微让人有点抓狂！漂亮倒是名实相符！

　　（四）最具科技感的乘法

　　四大文明古国之一的古埃及的人民曾经使用过一套完全另类的乘法，我冒失地将其命名为“翻倍乘法”。让我们仍以13×23为例展开：

　　1：23　 ←

　　2：46

　　4：92　 ←

　　8：184　←

　　16：368

　　13＝8＋4＋1

　　13×23＝184＋92＋23＝299

　　（请注意箭头指向的数字，另一个因数23依次翻倍）

　　初次见到这种乘法的我满腹狐疑。仔细推敲一番后，才发现核心的算理在于——古埃及人老早地发现了自然数的一个特点：任何一个自然数都可以表示成2的幂次方的和的形式，比如：

　　您不要被这貌似复杂的“通式”唬住，这不是什么高妙的数学公式，也不需要复杂的证明。这只是现代人常见常用的“进制转换”。我们习惯使用十进制数，源于我们天然地有10根指头，而计算机却使用二进制数，因为电路中的电压有高有低、电流有通有断……全是两种状态，最易实现的机器计数方法就是二进制。理论上可以有任意n进制的计数法。常用进制简介如下：

　　0～19分别表示为：

　　只要您能理解十进制数的“按计数单位”展开，就能理解二进制数的“按计数单位”展开：

　　（说明：括号外右下角的小数字表示括号内数字采用的进制，如果只有一种进制，大家心知肚明，可以不写括号和小数字）

　　在不同进制的数的对比下，您才会深入理解“计数单位”的深刻内涵。

　　古埃及人如何找到一个自然数的“二进制展开”？肯定不会是将十进制数转化为二进制数，因为二进制数的系统建立和广泛使用，是和计算机的发明、发展紧密依存的。他们的办法是先罗列出公比为2的等比数列：

　　然后依次找到不超过这个数（或其剩余数）的最大2次幂。以97为例：

　　①由于64≤97且最大，选64，剩余：97－64＝33；

　　②由于32≤33且最大，选32，剩余：33－32＝1；

　　③由于1≤1且最大，选1，剩余：1－1＝0，结束。

　　所以：

　　如果您还有疑问，就赶紧拿起纸和笔试一试吧！

　　讲到这里，就让我们赶紧结束这“非凡”的乘法之旅吧！漫长的旅程已让我疲惫不堪，你们哪怕有一丝的收获也将给予我无比的欣慰！如果您能仔细阅读完本文，我也一并向您表示祝福和感谢！如果您能因此而展开搜索和探究，发现更多“不一样”的乘法，那我将无比地荣幸，期待见到您独特的发现！

　　再会。

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