国外微积分最好的教材（介绍Lax）

《微积分及其应用》和《多元微积分及其应用》封面

作者 | 林开亮

今年6月，科学出版社出版了 Lax & Terrell 的《多元微积分及其应用》中译本，这是《微积分及其应用》（中译本由科学出版社2018年出版）的续篇。考虑到《微积分及其应用》颇受读者欢迎，作为译者，我们这里对这两卷书略作介绍，希望有助于大家更好地了解它们。

当今之世，Lax 与 Serre 可以说是当时最高寿（今年两位均94岁，Lax略长）的大数学家。非常巧的是，两位都是 Wolf 奖、Abel 奖得主，而且两位都非常擅于写书。Serre 的书《数论教程》、《有限群的线性表示》中译本列入高等教育出版社“丘成桐数学翻译丛书”；Lax 的书《线性代数及其应用》和《泛函分析》中译本均列入人民邮电出版社“图灵丛书”。不过这几本教材都面向数学专业的研究生。我们这里所介绍的微积分教材则面向本科生，尤其是非数学专业的本科生。

《泛函分析》封面

早在1976年，Lax 就与他的妻子 Anneli 一起写了一本微积分教材，后于1980年由人民教育出版社出版其中译本《微积分及其应用与计算》。如 Lax于2005年在接受 Abel 奖的访谈中所透露的：“在我的微积分书中，代替逐点连续性，我提倡一致连续性……我也有许多其他想法，我还想重写我的微积分教材，我在找一位好的合作者。”Lax 找到的合作者就是康奈尔大学数学系的Terrell，他们重写的教材即《微积分及其应用》与《多元微积分及其应用》，均收入斯普林格出版社的品牌丛书——本科生数学教材(UTM)，分别于2014年与2017年出版。顺便说一句，UTM 与其姊妹 GTM（研究生数学教材，Serre的两本教材就属于该系列）是两套非常有影响力的数学丛书，国内世界图书出版公司引进了其影印版，对于当代的大学生和研究生来说，直接阅读英文版应该没有困难。而世界图书出版公司近期组织翻译了UTM丛书中的几本名著，分别是：钟开莱的《初等概率论》与《随机积分导论》，沙法列维奇的《代数教程》(此书高中生就可以阅读)、Stephen Abbott的《分析入门》与杜武亮的《流形导引》（此书我也参与翻译）。

六年前，当我在为大一新生上高等数学（一个更好的称谓是“微积分”）而备课时，发现了 Lax & Terrell 的《微积分及其应用》，如获至宝。于是邀请昔日的好友一起翻译此书，两卷书前后共译五年。作为译者，我们从中也受益匪浅。下面就简单谈谈我对这两卷书的认识。

Lax 强调对理论与应用的结合。在理论方面，这两卷书不拘泥于琐碎细节，利用一些方便常用的定义（如一致连续与一致收敛、光滑有界集）简化了对定理的理解与证明。这在第二卷《多元微积分及其应用》尤其显著。众所周知，对多元函数的教学，两个紧密相关的重点和难点是：1、曲线积分与曲面积分；2、格林定理、散度定理与斯托克斯定理。借助于向量分析的语言，Lax & Terrell 在《多元微积分及其应用》第七、八章将这两部分内容作了简单明了的阐述。我们相信，想要对这些内容获得清晰认识的读者，是绝不会失望的。说到这里，我联想起台湾中央研究院数学所前所长刘太平教授在《数学传播》的一篇专访中指出的教学问题：“我们教书有太多的东西要教，比如微积分, 当 Stokes 定理都学过了, 但却连较初等的, 像 divergence (散度)代表什么，常没有时间仔细想过。” Lax & Terrell 在《多元微积分及其应用》第3.5节就专门介绍了散度与旋度。（顺便提一句，受到这一节内容的启迪，我与另一位译者吴艳霞在一篇即将发表的小文中解释了为何不在高维空间提旋度的概念：因为除了三维空间与七维空间以外，其他维数的欧氏空间没有合适的旋度。）

在应用方面，Lax 举了许多来自生活与物理的例子。例如，很突出的一个例子，第一卷最后一章讲到了概率，在第二卷积分举例时又提及概率密度函数(pdf)的重要概念，进而在最后一章偏微分方程举例时提到了薛定谔方程以及量子力学的概率解释。另一个典型的例子，是从万有引力定律推导开普勒三定律，这是牛顿的伟大功绩之一。讲到这里，我想分享另一位 Abel 奖得主 I. Singer 的第一次邂逅数学的经历（见即将出版的《数学与物理》，高等教育出版社“数学与人文”丛书第31辑）：“我高中时就对科学感兴趣，并获得密歇根大学的奖学金。在密歇根的头一年，我觉得没有什么挑战性，很失望，当一天和尚撞一天钟，直到在微积分的课堂上，我们的老师讲到牛顿如何从他的平方反比定律推导出行星的椭圆轨道。我感觉到，奇妙的事情发生了，这是富有智慧与美妙的事情！我现在仍然能感受这一点，而且常常跟那些门外汉说：‘只要想一想人类智慧是何等的卓越；在一张纸上就可以演算出行星的轨道！’真是令人难以置信，事实上恰当的说应该是，令人敬畏。我为那个推导感到激动；这加强了我投身科学的决定。”我想，我们的微积分课堂尤其需要这样激动人心的例子。Lax & Terrell 的教材就是一个丰富的矿藏。

这两本书有大量的习题，并且书后有部分习题的答案。其中有许多习题都是有趣的，尤其值得一提的是，在第二卷的练习2.55，作者引导读者去证明代数基本定理（要知道，这结果可是大数学家高斯1799年博士论文的主题）！

我想还应该指出，考虑到我们的许多大一新生在高中对三角函数的学习并不系统，而 Lax & Terrell 的第一卷专辟章节讲三角函数，因此《微积分及其应用》会成为新生学习微积分的绝佳伴侣。

最后，我要特别说明，自《微积分及其应用》中译本出版后，我们又发现不少可以改进或改正的地方，因此特别列出一个勘误清单（后台回复 Lax可直接下载），供读者参考。欢迎大家多提宝贵意见。

第一卷出版有热心朋友在知乎上做了宣传，见这里https://zhuanlan.zhihu.com/p/40274687。

确实，诚如这位朋友指出的，“这本书要说有什么缺点，那就是定价178元实在贵得离谱。”其实我们所有译者看到这个定价都觉得超出我们的想象，第二卷更是定价高达188元。于我们译者而言，翻译这两卷书我们其实没有多少稿酬，实际上还掏了七八万给出版社引进中译本版权（感谢我的恩师曾慷慨解囊赞助出版）。我们为什么要做这种事情呢？因为我们只想让大家看到Lax的新书，希望对大家有益。我们所有译者，并不希望出版社定价这样高，因为这偏离了我们的初衷——让更多的人读到这两本书！我写本文也不是要吹捧这两本书，我的见解与知乎上这位朋友一样：Lax的书，无须我多言！我只希望大家知道，学习微积分有这么两本书，多一个选择。

《微积分及其应用》

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《多元微积分及其应用》

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《微积分及其应用》一书目录

《多元微积分及其应用》一书目录

译后记

本书《多元微积分及其应用》是《微积分及其应用》的续篇，本着对作者Peter Lax和Maria Terrell的喜爱崇敬与对读者的负责到底，我们趁热打铁完成了本书的翻译。

本书延续了作者一贯简明清晰的文风，举例丰富，注重背景，生动有趣。与其他同类教材相比，本书的一个特色是专辟章节介绍了守恒律与偏微分方程之初等理论。这些内容是Lax本人之专长（偏微分方程）所在，因此完全可以理解他会在课程中引入。在他而言，守恒律乃数学之美妙的体现，参见http://www.concinnitasproject.org/portfolio/，中译文《大雅之美：十位大数学家心中最美的公式》见“数立方”网站（http://mathcubic.org/article/article/index/id/515.html）。为方便读者更好地理解，我们专门邀请了北京工业大学的刘继涛老师翻译了《激波的形成与衰减》，这是Lax 多年前发表于《美国数学月刊》的一篇美文，该译稿收入即将出版的《数学与物理》（高等教育出版社“数学与人文”丛书第31辑）。

考虑到有些读者可能对两位作者不太了解，我这里略说几句，以增进你对本书的认识。

先说作者。Peter Lax是1926年出生的匈牙利裔美籍数学家，1949年在纽约大学获得博士学位，之后一直留校任教。Lax在学术上成就卓越，先后荣获美国国家科学奖章（1986）、Wolf数学奖（1987）、Abel奖（2005）以及俄罗斯的 Lomonosov金质奖章（2013）。Lax是美国科学院院士，挪威文理学院院士，美国数学会会士。2005年，Springer出版了Lax的两卷本《论文选集》。在通俗写作方面，Lax先后三次荣获美国数学协会的写作奖，附录收入的《激波的形成与衰减》曾两次获奖，另一篇获奖作品是1965年发表于《美国数学月刊》第72卷的文章《偏微分方程的数值解》。这些主题都渗透到本书中，见第八章和第九章。Lax著述丰富，其教材尤其受师生喜爱，除了我们的微积分译著，被译成中文的，还有《微积分及其计算与应用》（即《微积分及其应用》之前身）、《线性代数及其应用》和《泛函分析》。其中，后两本基于其研究生课程讲义，线性代数与泛函分析都是Lax最喜欢讲授的研究生课程；而另一门则是偏微分方程（见本书第九章，这个主题在普通的多元微积分教材中并不多见），其讲义《双曲偏微分方程》（2006）尚未有中译本。

在他为接受Abel奖所写的自传（见Helge Holden 和Ragni Piene 主编的The Abel Prize 2003–2007 The First Five Years一书第187页）中，Lax分享了他对数学的看法：

Mathematics is sometimes compared to music; I find a comparison with painting better. In painting there is a creative tension between depicting the shapes, colors and textures of natural objects, and making a beautiful pattern on a flat canvas. Similarly, in mathematics there is a creative tension between analyzing the laws of nature, and making beautiful logical patterns.

我的翻译（也见《当代大数学家画传》关于Lax的篇目）如下：

数学有时被拿来与音乐比较，但我觉得与绘画比较更恰当。在绘画时，在描述自然对象的形状、颜色、纹理与在帆布上勾勒出一幅漂亮的图案之间存在创造性张力。类似地，在数学中，在分析自然定律与构造优美的逻辑模式之间也存在创造性张力。

在《当代大数学家画传》中，Lax 进一步补充说：

我所做的大部分工作都源于物理学建议的一些问题，例如声波的传播，它们被散射的方式，流体中激波的形成与传播。不论何种问题，其数学必须要优美。这些问题中有许多都引出了纯数学中的有趣问题。

Lax在纯数数学与应用数学之间游刃有余，研究和教学都出类拔萃，乃世所罕有的数学大师。

Lax 一共培养了55名博士，其中有4位华裔，而现任职于牛津大学数学所的陈贵强教授则是Lax的博士后（1987—1989）。

本书的另一位作者Maria Terrell是康奈尔大学数学系的退休教授，研究领域是几何与数学教育。

本书共12位译者，分别是：

林开亮（第一、五章），西北农林科技大学理学院；

吴艳霞（第一章），山东财经大学数学与数量经济学院；

张雅轩（第二章），中国民航大学理学院；

崔晓娜（第三章），河南师范大学数学与信息科学学院；

姚少魁（第三章），北京市第八十中学国际部；

陈敏茹（第四章），河南大学数学与统计学院；

王 兢（第五、六章），中央民族大学理学院；

任文辉（第六章），内蒙古工业大学理学院；

崔继峰（第六章），内蒙古工业大学理学院；

邵红亮（第七章），重庆大学数学与统计学院；

刘 帅（第八章），西北农林科技大学理学院；

郑霁光（第九章），复旦发展研究院金融研究中心；

译者大部分是我的同学（本科或研究生），有不少是我在首都师范大学排球场上的球友。我们的合作，是饱含着深情与怀念的协同作战。特别值得一提的是，负责翻译第三章的姚少魁、崔晓娜夫妇。在翻译《微积分及其应用》期间，晓娜怀着第一个宝宝，在翻译本书期间，晓娜怀着第二个宝宝。作为孕妇本来就很受累，还要伏案翻译，其辛劳可想而知（幸亏Lax的书只有两卷）！各位译者年龄相仿，身处学校，承受着教学和科研的压力，肩负着生活与工作的重担，但仍然像挤残剩不多的牙膏那样，挤出一点一滴的时间，以饱满的热情和专业的精神，认真完成各个章节的翻译并校订原书。在某种意义上，我们的翻译称得上是一种浪漫的合作，其目标只是为了给各位读者呈现出一本尽善尽美的《多元微积分及其应用》。我想我们已经接近这个目标了，希望各位读者也满意。

在个别地方我们补充了一些脚注或是对行文做了小幅度的调整，也是希望能够帮助读者更好地理解本书。原则上讲，多元微积分的理论与一元微积分的理论平行，因此对那些读过第一卷《微积分及其应用》的读者来说，继续跟进《多元微积分及其应用》是水到渠成、自然而然的选择。通常的多元微积分教材，对曲线积分和曲面积分的讲述不够清晰，以至于学生这一块内容往往不得要领。本书的处理（见第七章）抽茧剥丝简洁明了，尤其值得推荐给各位读者。如前所述，第八章关于守恒律的部分有些高深，一般读者适当了解即可。

最后，我们想强调一点，正如书名所提示的，本书注重理论之应用——用行话来说——就是“理论联系实际”，希望读者能消化书中各个例题并辅以适当练习以吸收理论，学以致用，充分领会本书的精神。毫无疑问，即便是作为已经在课堂上讲过几遍微积分的教师、在科研中运用过微积分的研究工作者，我们自己也从这两卷书中受益匪浅。愿各位读者亦有共鸣。

本书翻译出版得到以下项目的资助， 国家自然科学基金No.11605142（刘帅）、No.11601044（邵红亮）、No.11801314（吴艳霞）、内蒙古自治区自然科学基金No. 2018LH01016和内蒙古工业大学科学研究重点项目No. ZD201613（崔继峰）以及中央高校基本科研业务费专项资金Z109021708（林开亮），特表感谢。

感谢本书作者之一的 Maria Terrell 及其夫君 Robert E. Terrell 与我们及时沟通，这使得本书的翻译顺利了许多。Maria Terrell还在其个人主页（http://pi.math.cornell.edu/~maria/）给出了《微积分及其应用》和本书的一个印刷错误清单（a list of typos）。

感谢北京市朝阳区教育研究中心的张浩博士、内蒙古大学数学科学学院的颜昭雯教授、为我们校对了部分章节的译稿，感谢天津大学物理系的刘云朋教授为我们解答了翻译过程中遇到的疑难（见9.3节问题9.25），感谢大连交通大学理学院的莫利同学与我们讨论，最终引出了关于周期函数之和未必是周期函数的那个脚注（见9.2节）。感谢重庆大学数学与统计学院的王显金教授为我们调整了LaTeX模板，感谢“遇见数学”的李想老师为我们补全了图10.5（原书只有左边的图）。最后，我们要感谢科学出版社林鹏社长与数理分社陈玉琢编辑对我们一如既往的鼓励支持！

译者代表 林开亮

2019年5月5日

于西北农林科技大学理学院

《微积分及其应用》

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《多元微积分及其应用》

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